Resolva a integral
\int e^{-2 x} \cos 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int e^{-2x}\cos(3x)\,dx
Usaremos o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Aqui o conteúdo é a integração de um produto de exponencial e função trigonométrica, resolvida aplicando partes duas vezes.

Passo 2

Defina
I = \int e^{-2x}\cos(3x)\,dx.
Escolha em \int u\,dv:
u = \cos(3x),\quad dv = e^{-2x}\,dx.
Então
du = -3\sin(3x)\,dx,\quad v = \int e^{-2x}\,dx = -\tfrac12\,e^{-2x}.
Aplicando partes:
I = u\,v - \int v\,du = -\tfrac12\,e^{-2x}\cos(3x) - \int \bigl(-\tfrac12\,e^{-2x}\bigr)\bigl(-3\sin(3x)\bigr)\,dx = -\tfrac12\,e^{-2x}\cos(3x) - \tfrac{3}{2}\int e^{-2x}\sin(3x)\,dx.
Defina
J = \int e^{-2x}\sin(3x)\,dx,
ficando
I = -\tfrac12\,e^{-2x}\cos(3x) - \tfrac{3}{2}\,J.

Passo 3

Agora calculemos
J = \int e^{-2x}\sin(3x)\,dx
também por partes, com
u = \sin(3x),\quad dv = e^{-2x}\,dx
du = 3\cos(3x)\,dx,\quad v = -\tfrac12\,e^{-2x}.
Logo
J = u\,v - \int v\,du = -\tfrac12\,e^{-2x}\sin(3x) - \int \bigl(-\tfrac12\,e^{-2x}\bigr)\bigl(3\cos(3x)\bigr)\,dx = -\tfrac12\,e^{-2x}\sin(3x) + \tfrac{3}{2}\int e^{-2x}\cos(3x)\,dx.
Ou seja,
J = -\tfrac12\,e^{-2x}\sin(3x) + \tfrac{3}{2}\,I.

Passo 4

Substituindo J em I = -\tfrac12 e^{-2x}\cos(3x)-\tfrac32\,J:
I = -\tfrac12\,e^{-2x}\cos(3x) - \tfrac{3}{2}\Bigl(-\tfrac12\,e^{-2x}\sin(3x) + \tfrac{3}{2}I\Bigr) = -\tfrac12\,e^{-2x}\cos(3x) + \tfrac{3}{4}\,e^{-2x}\sin(3x) - \tfrac{9}{4}\,I.
Reagrupando I:
I + \tfrac{9}{4}\,I = -\tfrac12\,e^{-2x}\cos(3x) + \tfrac{3}{4}\,e^{-2x}\sin(3x),
\tfrac{13}{4}\,I = e^{-2x}\Bigl(-\tfrac12\cos(3x) + \tfrac{3}{4}\sin(3x)\Bigr),
I = \frac{4}{13}\,e^{-2x}\Bigl(-\tfrac12\cos(3x) + \tfrac{3}{4}\sin(3x)\Bigr) = e^{-2x}\,\frac{-2\cos(3x) + 3\sin(3x)}{13}.

Resposta

\int e^{-2x}\cos(3x)\,dx = \frac{e^{-2x}}{13}\bigl(-2\cos(3x) + 3\sin(3x)\bigr) + C.

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