Quais devem ser os valores de
e
para que
seja um polinômio do segundo grau?
Passo 1
O enunciado diz que
. A pergunta é: quais valores de
e
fazem com que
seja um polinômio do segundo grau?
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão de
tem termos em , e constante . - As incógnitas a determinar são
e . - O enunciado não restringe
, logo pode ser qualquer número.
Passo 2
O que significa “polinômio do segundo grau”?
- Um polinômio é de segundo grau quando o maior expoente de
que aparece com coeficiente não nulo é . - Em outras palavras, o grau do polinômio é o maior expoente cuja coeficiente é diferente de zero.
Exemplo concreto:é de segundo grau porque o maior expoente com coeficiente não nulo é . Se o coeficiente de fosse zero, teria grau menor.
Passo 3
Olhemos para
:
- O coeficiente do termo de maior expoente (
) é . - O coeficiente do termo em
é . - Não há termos em
nem em .
Passo 4
Condição necessária para eliminar o grau 4: o coeficiente do termo
tem que ser zero, caso contrário o polinômio teria grau
. Portanto devemos ter
Explicação: se
então o termo
domina e o grau de
é
, não
.
Passo 5
Depois de impor
, a função fica
. Para que isso seja exatamente um polinômio do segundo grau é preciso que o coeficiente de
não seja zero; caso contrário o termo dominante desaparece e o grau cai (para
se
, ou não estar bem definido se todos forem zero). Assim devemos ter
Passo 6
Resumo com exemplos para fixar:
- Se
e , então é de segundo grau (bom). - Se
e , então é constante (grau ), não é segundo grau. - Se
qualquer , então é grau , não serve.