Quais devem ser os valores de a e b para que p(x)=a x^{4}+b x^{2}+c seja um polinômio do segundo grau?

Passo 1

O enunciado diz que p(x)=a x^{4}+b x^{2}+c. A pergunta é: quais valores de a e b fazem com que p(x) seja um polinômio do segundo grau?
Informações dadas:
  • A expressão de p(x) tem termos em x^{4}, x^{2} e constante c.
  • As incógnitas a determinar são a e b.
  • O enunciado não restringe c, logo c pode ser qualquer número.

Passo 2

O que significa “polinômio do segundo grau”?
  • Um polinômio é de segundo grau quando o maior expoente de x que aparece com coeficiente não nulo é 2.
  • Em outras palavras, o grau do polinômio é o maior expoente cuja coeficiente é diferente de zero.
    Exemplo concreto: q(x)=3x^{2}+2x+1 é de segundo grau porque o maior expoente com coeficiente não nulo é 2. Se o coeficiente de x^{2} fosse zero, q teria grau menor.

Passo 3

Olhemos para p(x)=a x^{4}+b x^{2}+c:
  • O coeficiente do termo de maior expoente ( x^{4}) é a.
  • O coeficiente do termo em x^{2} é b.
  • Não há termos em x^{3} nem em x.

Passo 4

Condição necessária para eliminar o grau 4: o coeficiente do termo x^{4} tem que ser zero, caso contrário o polinômio teria grau 4. Portanto devemos ter
a=0.
Explicação: se a\neq0 então o termo a x^{4} domina e o grau de p é 4, não 2.

Passo 5

Depois de impor a=0, a função fica p(x)=b x^{2}+c. Para que isso seja exatamente um polinômio do segundo grau é preciso que o coeficiente de x^{2} não seja zero; caso contrário o termo dominante desaparece e o grau cai (para 0 se c\neq0, ou não estar bem definido se todos forem zero). Assim devemos ter
b\neq 0.

Passo 6

Resumo com exemplos para fixar:
  • Se a=0 e b=5, então p(x)=5x^{2}+c é de segundo grau (bom).
  • Se a=0 e b=0, então p(x)=c é constante (grau 0), não é segundo grau.
  • Se a=1 qualquer b, então p(x) é grau 4, não serve.

Resposta

a=0 e b\neq 0

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