No plano cartesiano, para qual(is) valor(es) de
as curvas logarítmicas
e
se cruzam?
Passo 1
O enunciado dá duas curvas no plano:
e
. A pergunta é: para quais valores de
essas duas curvas se cruzam (ou seja, para quais
vale
)?
Informações relevantes dadas:
- As duas funções estão definidas apenas para
(domínio de e de ). - O objetivo é resolver a equação
Passo 2
Breve aula sobre logaritmos (ferramentas que vamos usar).
- A notação
significa logaritmo natural, isto é, logaritmo na base (onde ). - A notação
sem base pode causar ambiguidade: às vezes significa base , às vezes base ; aqui vamos tratar do caso geral primeiro: suponha que seja o logaritmo na base . Para mudar de base, usa-se a fórmula do mudança de base:
Nessa fórmula,
é um número fixo (depende só da base
), e
é a função da variável
.
- Propriedade usada: se um produto é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. E a função
é zero somente em .
Passo 3
Aplicando a mudança de base à equação
, com
sendo
:
Agora manipulamos algebricamente. Multiplicando ambos os lados por
(que é constante, assumindo
):
Colocando tudo num lado e fatorando
:
Ou reorganizando de forma equivalente,
Passo 4
Das expressões fatoradas obtemos as duas possibilidades:
-
. Isso dá . Esse é sempre um candidato válido porque está no domínio e de fato e , então as duas funções se igualam em . -
, ou seja . Isso significa . Se a base satisfaz , então o fator é zero e a equação fica para qualquer com arbitrário — ou seja, qualquer satisfaz a igualdade. Em palavras: se a base de for exatamente (aprox. ), então coincide com identicamente e as curvas se cruzam em todos os .
Passo 5
Verificação rápida com bases usuais:
- Se
for o logaritmo decimal ( ), então , portanto só vale a solução . - Se
for (ou seja ), então a equação é e novamente a única solução é .
Portanto, na grande maioria das interpretações práticas (bases comuns comoou ), a única interseção é . Só existe a situação excepcional (infinitas interseções) se a base for exatamente .
Resposta
Se a base de
for
, então todas as
são soluções.