No plano cartesiano, para qual(is) valor(es) de x as curvas logarítmicas f_{1}(x)=\ln x e f_{2}(x)=2 \log x se cruzam?

Passo 1

O enunciado dá duas curvas no plano: f_{1}(x)=\ln x e f_{2}(x)=2\log x. A pergunta é: para quais valores de x essas duas curvas se cruzam (ou seja, para quais x vale f_{1}(x)=f_{2}(x))?
Informações relevantes dadas:
  • As duas funções estão definidas apenas para x>0 (domínio de \ln x e de \log x).
  • O objetivo é resolver a equação
\ln x = 2\log x.

Passo 2

Breve aula sobre logaritmos (ferramentas que vamos usar).
  • A notação \ln x significa logaritmo natural, isto é, logaritmo na base e (onde e\approx2,71828).
  • A notação \log x sem base pode causar ambiguidade: às vezes significa base 10, às vezes base e; aqui vamos tratar do caso geral primeiro: suponha que \log seja o logaritmo na base b>0,\;b\neq1. Para mudar de base, usa-se a fórmula do mudança de base:
\log_{b}x=\frac{\ln x}{\ln b}.
Nessa fórmula, \ln b é um número fixo (depende só da base b), e \ln x é a função da variável x.
  • Propriedade usada: se um produto é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. E a função \ln x é zero somente em x=1.

Passo 3

Aplicando a mudança de base à equação \ln x = 2\log x, com \log sendo \log_{b}:
\ln x = 2\log_{b}x = 2\frac{\ln x}{\ln b}.
Agora manipulamos algebricamente. Multiplicando ambos os lados por \ln b (que é constante, assumindo b>0,\;b\neq1):
\ln b\cdot \ln x = 2\ln x.
Colocando tudo num lado e fatorando \ln x:
\ln x\bigl(\ln b - 2\bigr)=0.
Ou reorganizando de forma equivalente,
\ln x\left(1-\frac{2}{\ln b}\right)=0.

Passo 4

Das expressões fatoradas obtemos as duas possibilidades:
  1. \ln x = 0. Isso dá x=1. Esse é sempre um candidato válido porque x=1 está no domínio x>0 e de fato \ln 1=0 e \log_{b}1=0, então as duas funções se igualam em x=1.
  2. \ln b-2=0, ou seja \ln b = 2. Isso significa b=e^{2}. Se a base b satisfaz \ln b=2, então o fator \ln b-2 é zero e a equação fica 0=0 para qualquer x com \ln x arbitrário — ou seja, qualquer x>0 satisfaz a igualdade. Em palavras: se a base de \log for exatamente e^{2} (aprox. 7{,}389), então 2\log_{b}x coincide com \ln x identicamente e as curvas se cruzam em todos os x>0.

Passo 5

Verificação rápida com bases usuais:
  • Se \log for o logaritmo decimal ( b=10), então \ln 10\approx2{,}3026\neq2, portanto só vale a solução x=1.
  • Se \log for \ln (ou seja b=e), então a equação é \ln x = 2\ln x e novamente a única solução é \ln x=0\Rightarrow x=1.
    Portanto, na grande maioria das interpretações práticas (bases comuns como 10 ou e), a única interseção é x=1. Só existe a situação excepcional (infinitas interseções) se a base for exatamente e^{2}.

Resposta

x=1
Se a base de \log for e^{2}, então todas as x>0 são soluções.

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