Com a devida justificativa, mostre que:
integral0^pi(cos (x)-sen(x)) d x=-2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de cos(x) - sin(x) no intervalo de 0 a pi. Para resolver isso, vamos usar as regras básicas de integração de funções trigonométricas e calcular cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes. A integral de uma soma (ou subtração) de funções é igual à soma (ou subtração) das integrais dessas funções. Então, temos:
integral0^pi (cos(x) - sin(x)) , dx = integral0^pi cos(x) , dx - integral0^pi sin(x) , dx

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral: integral0^pi cos(x) , dx.
Sabemos que a integral de cos(x) em relação a x é sin(x). Então:
integral cos(x) , dx = sin(x) + C
Agora, aplicando os limites de integração de 0 a pi:
[ sin(x) ]0^pi = sin(pi) - sin(0)
Sabemos que sin(pi) = 0 e sin(0) = 0, então:
0 - 0 = 0
Portanto, integral0^pi cos(x) , dx = 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral: -integral0^pi sin(x) , dx.
Primeiro, a integral de sin(x) é -cos(x). Como temos o sinal negativo na frente, fica:
-integral sin(x) , dx = -(-cos(x)) = cos(x) + C
Aplicando os limites de integração de 0 a pi:
[ cos(x) ]0^pi = cos(pi) - cos(0)
Sabemos que cos(pi) = -1 e cos(0) = 1, então:
-1 - 1 = -2
Portanto, -integral0^pi sin(x) , dx = -2.

Resposta

Somando os resultados das duas integrais, temos:
0 - 2 = -2
Portanto, a integral integral0^pi (cos(x) - sin(x)) , dx é igual a -2.

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