Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em
.
em
Passo 1
O enunciado pede para resolver no todo o eixo real o sistema não homogêneo de primeira ordem
X′=AX+be^{4t},
onde
X′=AX+be^{4t},
onde
O conteúdo é sistemas lineares não homogêneos e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em achar primeiro a solução geral do homogêneo e depois uma solução particular do não homogêneo.
Passo 2
Para a parte homogênea resolvemos X′=AX. Como A é triangular, seus autovalores estão na diagonal: 1, 2 e –5. Para cada autovalor λ vemos (A−λI)v=0: autovetor para λ=1 é v₁=(1,0,0), para λ=2 é v₂=(1,1,0) e para λ=−5 é, por exemplo, v₃=(−2,−9,21). Então a solução geral homogênea é
Passo 3
Para a parte particular assumimos X_p(t)=c e^{4t}, com c constante. Então X_p′=4c e^{4t} e devemos ter
Cancelando e^{4t} vem (4I−A)c=b. Calculamos
As equações são
3c_1−c_2−c_3=1,
2c_2−3c_3=−1,
9c_3=2.
Da última c_3=2/9, daí c_2=−1/6 e c_1=19/54.
3c_1−c_2−c_3=1,
2c_2−3c_3=−1,
9c_3=2.
Da última c_3=2/9, daí c_2=−1/6 e c_1=19/54.
Passo 4
Juntando homogênea e particular obtemos a solução geral do sistema não homogêneo: qualquer solução é
Passo 5
Este é o resultado geral, com três constantes arbitrárias C_1,C_2,C_3 que se ajustam às condições iniciais.