Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em (-infty,+infty).
X^prime=(rrr 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 0 & 0 & -5 ) X+(r 1 -1 2 ) e^4 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver no todo o eixo real o sistema não homogêneo de primeira ordem
X′=AX+be^{4t},
onde
A=1&1&10&2&30&0&-5, b=1-12
O conteúdo é sistemas lineares não homogêneos e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em achar primeiro a solução geral do homogêneo e depois uma solução particular do não homogêneo.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos X′=AX. Como A é triangular, seus autovalores estão na diagonal: 1, 2 e –5. Para cada autovalor λ vemos (A−λI)v=0: autovetor para λ=1 é v₁=(1,0,0), para λ=2 é v₂=(1,1,0) e para λ=−5 é, por exemplo, v₃=(−2,−9,21). Então a solução geral homogênea é
Xh(t)=C1100e^t+C2110e^2t+C3-2-921e^-5t

Passo 3

Para a parte particular assumimos X_p(t)=c e^{4t}, com c constante. Então X_p′=4c e^{4t} e devemos ter
4c e^4t=A(c e^4t)+b e^4t
Cancelando e^{4t} vem (4I−A)c=b. Calculamos
4I−A=3&-1&-10&2&-30&0&9, b=1-12
As equações são
3c_1−c_2−c_3=1,
2c_2−3c_3=−1,
9c_3=2.
Da última c_3=2/9, daí c_2=−1/6 e c_1=19/54.

Passo 4

Juntando homogênea e particular obtemos a solução geral do sistema não homogêneo: qualquer solução é
X(t)=C1100e^t+C2110e^2t+C3-2-921e^-5t+19/54-1/62/9e^4t

Passo 5

Este é o resultado geral, com três constantes arbitrárias C_1,C_2,C_3 que se ajustam às condições iniciais.

Resposta

X(t)=C1100e^t+C2110e^2t+C3-2-921e^-5t+19/54-1/62/9e^4t

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