Os pontos
e
pertencem, respectivamente, às curvas
e
. O menor comprimento possível do segmento
, paralelo ao eixo
, é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o menor comprimento possível do segmento $ AB $, que é paralelo ao eixo $ y $. Os pontos $ A $ e $ B $ estão em duas curvas diferentes: $ y_{1} = x^{2} + 1 $ e $ y_{2} = -x^{2} + 3x - 2 $, respectivamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e a ideia de otimização para achar o menor comprimento.
Passo 2
Primeiro, como o segmento $ AB $ é paralelo ao eixo $ y $, isso significa que os pontos $ A $ e $ B $ têm o mesmo valor de $ x $. Então, podemos representar os pontos assim:
Passo 3
O comprimento do segmento $ AB $ é a diferença entre as coordenadas $ y $ dos pontos $ A $ e $ B $. Então:
Simplificando dentro do valor absoluto:
Passo 4
Agora, para encontrar o menor comprimento possível de $ AB $, precisamos minimizar a expressão $ |2x^{2} - 3x + 3| $. Vamos primeiro observar se a expressão dentro do valor absoluto pode ser negativa. Calculando o discriminante da equação quadrática $ 2x^{2} - 3x + 3 $:
Como o discriminante é negativo, a expressão $ 2x^{2} - 3x + 3 $ nunca é negativa. Portanto, podemos remover o valor absoluto:
Passo 5
Para minimizar $ AB = 2x^{2} - 3x + 3 $, encontramos o vértice da parábola representada por essa função quadrática. A fórmula para a coordenada $ x $ do vértice é:
Passo 6
Substituímos $ x = \frac{3}{4} $ na expressão de $ AB $ para encontrar o valor mínimo:
Resposta
O menor comprimento possível do segmento $ AB $, paralelo ao eixo $ y $, é $ \frac{15}{8} $ unidades.