Os pontos A e B pertencem, respectivamente, às curvas y1=x^2+1 e y2=-x^2+3 x-2. O menor comprimento possível do segmento A B, paralelo ao eixo y, é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o menor comprimento possível do segmento $ AB $, que é paralelo ao eixo $ y $. Os pontos $ A $ e $ B $ estão em duas curvas diferentes: $ y_{1} = x^{2} + 1 $ e $ y_{2} = -x^{2} + 3x - 2 $, respectivamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e a ideia de otimização para achar o menor comprimento.

Passo 2

Primeiro, como o segmento $ AB $ é paralelo ao eixo $ y $, isso significa que os pontos $ A $ e $ B $ têm o mesmo valor de $ x $. Então, podemos representar os pontos assim:
AB
y

Passo 3

O comprimento do segmento $ AB $ é a diferença entre as coordenadas $ y $ dos pontos $ A $ e $ B $. Então:
AB
Simplificando dentro do valor absoluto:
y

Passo 4

Agora, para encontrar o menor comprimento possível de $ AB $, precisamos minimizar a expressão $ |2x^{2} - 3x + 3| $. Vamos primeiro observar se a expressão dentro do valor absoluto pode ser negativa. Calculando o discriminante da equação quadrática $ 2x^{2} - 3x + 3 $:
AB
Como o discriminante é negativo, a expressão $ 2x^{2} - 3x + 3 $ nunca é negativa. Portanto, podemos remover o valor absoluto:
|2x^2 - 3x + 3|

Passo 5

Para minimizar $ AB = 2x^{2} - 3x + 3 $, encontramos o vértice da parábola representada por essa função quadrática. A fórmula para a coordenada $ x $ do vértice é:
AB = 2x^2 - 3x + 3

Passo 6

Substituímos $ x = \frac{3}{4} $ na expressão de $ AB $ para encontrar o valor mínimo:
x = 34

Resposta

O menor comprimento possível do segmento $ AB $, paralelo ao eixo $ y $, é $ \frac{15}{8} $ unidades.

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