Com a devida justificativa, mostre que:
integral0^4 raiz2 x+1 d x=263

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de raiz2x + 1 de 0 a 4 e mostrar que o resultado é 263. Aqui, vamos usar o conceito de integrais definidas e técnicas de integração, como a substituição. Precisamos entender como integrar funções que envolvem raízes e ajustar os limites de integração conforme necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Temos raiz2x + 1. Para integrar isso, vamos usar a substituição, que é uma técnica onde substituímos parte da expressão por uma nova variável para simplificar o cálculo.

Passo 3

Vamos definir u = 2x + 1. Então, a derivada de u em relação a x é du/dx = 2, o que significa que dx = du2. Agora, substituímos isso na integral:
integral raiz2x + 1 , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du

Passo 4

Agora, vamos integrar u^1/2. A regra de integração para potência de u é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aqui, n = 12, então:
12 integral u^1/2 , du = 12 cdot u^3/23/2 = 12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2

Passo 5

Agora voltamos à variável original x. Lembrando que u = 2x + 1, então:
13 u^3/2 = 13 (2x + 1)^3/2

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4. Calculamos a expressão para x = 4 e x = 0:
Para x = 4:
13 (2 cdot 4 + 1)^3/2 = 13 (9)^3/2 = 13 cdot 27 = 9
Para x = 0:
13 (2 cdot 0 + 1)^3/2 = 13 (1)^3/2 = 13 cdot 1 = 13

Passo 7

Subtraímos o valor em x = 0 do valor em x = 4:
9 - 13 = 273 - 13 = 263

Resposta

263

Exercícios relacionados