Com a devida justificativa, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de
de 0 a 4 e mostrar que o resultado é
. Aqui, vamos usar o conceito de integrais definidas e técnicas de integração, como a substituição. Precisamos entender como integrar funções que envolvem raízes e ajustar os limites de integração conforme necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Temos
. Para integrar isso, vamos usar a substituição, que é uma técnica onde substituímos parte da expressão por uma nova variável para simplificar o cálculo.
Passo 3
Vamos definir
. Então, a derivada de
em relação a
é
, o que significa que
. Agora, substituímos isso na integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar
. A regra de integração para potência de
é:
Aqui,
, então:
Passo 5
Agora voltamos à variável original
. Lembrando que
, então:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4. Calculamos a expressão para
e
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Subtraímos o valor em
do valor em
: