Elipse
a. Mostre que a curva r(t)=(cos t) i+(sen t) j+(1-cos t) k, 0 <= t <= 2 pi, é uma elipse, mostrando que é a interseção de um cilindro circular reto e um plano. Encontre equações para o cilindro e o plano.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos dá uma curva definida por r(t) = (cos t) i + (sen t) j + (1 - cos t) k, onde t varia de 0 a 2pi. Nosso objetivo é mostrar que essa curva é uma elipse, provando que ela é a interseção de um cilindro circular reto e um plano. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre cilindros e planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos começar analisando as componentes da curva r(t). Temos:
  • x = cos t
  • y = sen t
  • z = 1 - cos t
Essas equações nos dão a posição em cada eixo para um valor de t.

Passo 3

Observando as equações de x e y, notamos que x = cos t e y = sen t. Sabemos que cos^2 t + sen^2 t = 1. Então, podemos escrever:
x^2 + y^2 = cos^2 t + sen^2 t = 1
Essa é a equação de um círculo de raio 1 no plano xy.

Passo 4

A equação x^2 + y^2 = 1 representa um cilindro circular reto, pois se estende infinitamente ao longo do eixo z. Portanto, identificamos o cilindro como:
x^2 + y^2 = 1

Passo 5

Agora, vamos analisar a componente z da curva, que é z = 1 - cos t. Sabemos que x = cos t, então podemos substituir:
z = 1 - x
Isso é uma equação linear que representa um plano no espaço tridimensional.

Passo 6

A equação do plano identificado é:
x + z = 1
Esse plano corta o cilindro que encontramos anteriormente.

Passo 7

A interseção entre o cilindro x^2 + y^2 = 1 e o plano x + z = 1 resulta na curva dada pela função r(t). Como a interseção de um cilindro circular reto e um plano é uma elipse, concluímos que a curva é de fato uma elipse.

Resposta

A curva r(t) = (cos t) i + (sen t) j + (1 - cos t) k é uma elipse, pois é a interseção do cilindro circular reto x^2 + y^2 = 1 com o plano x + z = 1.

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