Elipse
a. Mostre que a curva
,
, é uma elipse, mostrando que é a interseção de um cilindro circular reto e um plano. Encontre equações para o cilindro e o plano.
a. Mostre que a curva
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos dá uma curva definida por
, onde
varia de
a
. Nosso objetivo é mostrar que essa curva é uma elipse, provando que ela é a interseção de um cilindro circular reto e um plano. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre cilindros e planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos começar analisando as componentes da curva
. Temos:
Essas equações nos dão a posição em cada eixo para um valor de
.
Passo 3
Observando as equações de
e
, notamos que
e
. Sabemos que
. Então, podemos escrever:
Essa é a equação de um círculo de raio 1 no plano
.
Passo 4
A equação
representa um cilindro circular reto, pois se estende infinitamente ao longo do eixo
. Portanto, identificamos o cilindro como:
Passo 5
Agora, vamos analisar a componente
da curva, que é
. Sabemos que
, então podemos substituir:
Isso é uma equação linear que representa um plano no espaço tridimensional.
Passo 6
A equação do plano identificado é:
Esse plano corta o cilindro que encontramos anteriormente.
Passo 7
A interseção entre o cilindro
e o plano
resulta na curva dada pela função
. Como a interseção de um cilindro circular reto e um plano é uma elipse, concluímos que a curva é de fato uma elipse.
Resposta
A curva
é uma elipse, pois é a interseção do cilindro circular reto
com o plano
.