Devido ao baixo rendimento em Matemática dos alunos da terceira série dos colégios de uma cidade, resolveuse testar uma nova técnica de ensino, objetivando aumentar esse rendimento. Depois que os alunos foram treinados com a nova técnica, selecionou-se uma amostra de 49 alunos, e aplicou-se um teste de Matemática de nível equivalente a um outro que havia sido aplicado no período em que foi usada a técnica anterior. O teste aplicado aos 49 alunos forneceu que 70 % deles tiveram um rendimento considerado satisfatório. Realize um teste de proporções para testar as hipóteses
& H0: P=0,65 & Ha: P>0,65
Use o nível de significância de 5 % ou 1 %.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente quer testar se, com a nova técnica, a proporção de alunos com rendimento satisfatório passou de 65%. Pegamos uma amostra de n = 49 e vimos que 70% foram “bons”. A ideia é fazer um teste de hipóteses de proporção usando o nível de significância de 5% ou 1%. O conteúdo aqui é “teste de hipótese para proporção” e vamos precisar de:
  • p₀ = 0,65 (proporção sob a hipótese nula)
  • (proporção observada)
  • n = 49 (tamanho da amostra)
  • fórmula do teste-z para proporção

Passo 2

Primeiro, escrevemos as hipóteses e lembramos da estatística de teste.
Hipóteses:
H0: P = 0,65 Ha: P > 0,65
A estatística-z para proporção é
z ;=; hat p - p0raiz p0(1 - p0)n
Por quê? Porque, quando n é razoavelmente grande (aqui 49), a distribuição de se aproxima de uma normal com média e variância .

Passo 3

Vamos calcular o desvio-padrão da proporção sob H₀:
sigmahat p =raizp0(1 - p0)n =raiz0,65times0,3549 =raiz0,227549 approx 0,06816
Agora o valor de z:
z =hat p - p0sigmahat p =0,70 - 0,650,06816 approx 0,733

Passo 4

Como é um teste unilateral à direita, os valores críticos da normal padrão são:
  • Para , .
  • Para , .
    Comparamos: nosso é bem menor que 1,645 e que 2,33.

Passo 5

Conclusão do teste:
  • Em : → não rejeita .
  • Em : → não rejeita .
Ou seja, não há evidência estatística para dizer que a proporção verdadeira de sucesso passou de 65%.

Resposta

Não rejeitamos nem a 5% nem a 1%. Não ficou comprovado que a proporção de alunos bons seja maior que 65%.

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