Com a finalidade de conhecer a porcentagem de pessoas vacinadas contra varíola, em uma população de 15.000 habitantes, obteve-se uma amostra aleatória de 400 pessoas, das quais 300 estavam vacinadas. Que limites de confiança deve ter a percentagem de vacinados na população, com
de confiança?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer descobrir qual a porcentagem de pessoas vacinadas contra varíola na população total de 15.000 habitantes. Para isso, usamos uma amostra de 400 pessoas, das quais 300 estão vacinadas. Vamos usar conhecimentos de Estatística, especificamente sobre Intervalo de Confiança para uma Proporção. Precisamos saber a proporção de vacinados na amostra, o tamanho da amostra e o nível de confiança que queremos, que nesse caso é de 95%.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a proporção de pessoas vacinadas na amostra. Isso é simplesmente o número de vacinados dividido pelo total da amostra. Então:
Isso significa que, na nossa amostra, 75% estão vacinados.
Passo 3
Agora, para construir o intervalo de confiança, precisamos usar a fórmula:
Onde:
- $ \hat{p} $ é a proporção da amostra (0,75)
- $ z $ é o valor crítico correspondente ao nível de confiança de 95%
- $ n $ é o tamanho da amostra (400)
Passo 4
O próximo passo é encontrar o valor de $ z $ para um nível de confiança de 95%. Geralmente, usamos a tabela da distribuição normal para isso. Para 95% de confiança, $ z $ é aproximadamente 1,96.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos o denominador dentro da raiz:
Dividindo por 400:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Passo 6
Multiplicamos esse resultado pelo valor de $ z $:
Passo 7
Agora, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da proporção da amostra:
Resposta
Com 95% de confiança, a porcentagem de pessoas vacinadas na população total está entre 70,75% e 79,25%.