Devido à falta de oxigênio, a população de trutas de um lago está diminuindo. A taxa de variação da população pode ser modelada pela função dPdt=-125 cdot e^-t / 20, onde t é o tempo. No instante t=0, existem 2500 trutas no lago.
Escreva uma equação para a população P em função do tempo t.

Passo 1

O enunciado dá a taxa de variação da população de trutas como dfracdPdt = -125,e^-t/20 e informa que em t=0 temos P(0)=2500. O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem e vamos precisar usar integração para encontrar P(t).

Passo 2

Para obter P(t), integramos ambos os lados da equação dfracdPdt = -125,e^-t/20 em relação a t:
integral dP = integral -125,e^-t/20 ,dt

Passo 3

Na integral do lado direito, fazemos a substituição ou lembramos que integral e^at,dt = tfrac1ae^at. Aqui a = -tfrac120, então
integral -125,e^-t/20 ,dt = -125 cdot l(-20r),e^-t/20 = 2500,e^-t/20

Passo 4

Assim obtemos a família de soluções
P(t) = 2500,e^-t/20 + C,
onde C é a constante de integração. Para determiná-la, usamos a condição inicial P(0)=2500:
P(0)=2500,e^0 + C = 2500 + C = 2500 implies C=0

Passo 5

Portanto a solução particular que satisfaz o problema é dada por P(t)=2500,e^-t/20.

Resposta

P(t)=2500,e^-t/20

Exercícios relacionados