Devido à falta de oxigênio, a população de trutas de um lago está diminuindo. A taxa de variação da população pode ser modelada pela função dPdt=-125 cdot e^-t / 20, onde t é o tempo. No instante t=0, existem 2500 trutas no lago.
Qual será a população de trutas após 15 dias?

Passo 1

A questão nos dá a taxa de variação da população de trutas como dPdt = -125,e^-t/20 com condição inicial P(0)=2500. Queremos achar P(15). O conteúdo aqui é resolução de uma equação diferencial de primeira ordem por integração.

Passo 2

Integramos a taxa de variação para obter a solução geral. Usamos
P(t) = integral dPdt,dt = integral -125,e^-t/20,dt + C
Como integral e^-t/20,dt = -20,e^-t/20, resulta em
P(t) = -125cdot(-20),e^-t/20 + C = 2500,e^-t/20 + C

Passo 3

Aplicamos a condição inicial P(0)=2500. Substituindo t=0 em P(t)=2500e^-t/20+C
2500 = 2500cdot e^0 + C implies C = 0
Logo
P(t) = 2500,e^-t/20

Passo 4

Para encontrar a população em 15 dias, substituímos t=15:
P(15) = 2500,e^-15/20 = 2500,e^-3/4

Passo 5

Fazendo a aproximação numérica de e^-3/4approx0.47237, obtemos
P(15) approx 2500 times 0.47237 approx 1181

Resposta

A população após 15 dias é P(15)=2500,e^-3/4approx1181 trutas.

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