(Devore adaptado) Uma loja de computadores comprou três computadores de certo tipo por a dólares cada. Eles serão vendidos a 1000 dólares cada. O fabricante concordou em aceitar a devolução dos computadores não vendidos, após um período especificado, pagando b dólares por computador devolvido. Seja X a quantidade de computadores vendidos, a tabela abaixo mostra a f.m.p de X.
x 0 1 2 3
\mathbb{P}(X=x) 0,1 0,2 0,3 0,4
Suponha que o vendedor tenha negociado com o fabricante e que o fabricante concordou em três acordos possíveis para o preço de venda a e o valor que pagará por computador devolvido b, sendo eles:
  • Acordo A: a=500 e b=200.
  • Acordo B: a=450 e b=150
  • Acordo C: a=550 e b=250
Em aula vimos que o Acordo A resulta num lucro esperado de 700 dólares e que a variância do lucro nesse caso é de 640.000 dólares { }^{2}. Calcule o lucro esperado e a variância do lucro considerando os demais acordos. Qual dos acordos você recomendaria que o dono da loja aceitasse?

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, em linguagem bem direta (peguei as probabilidades da tabela do enunciado).
  • Variável aleatória X = número de computadores vendidos, com distribuição: \mathbb{P}(X=0)=0,1,\quad \mathbb{P}(X=1)=0,2,\quad \mathbb{P}(X=2)=0,3,\quad \mathbb{P}(X=3)=0,4.
  • Preço de venda por computador: \$1000 (fixo).
  • Custos e devoluções por acordo:
    • Acordo A: a=500,\\ b=200. (Em aula foi dado: lucro esperado 700 e variância 640{,}000.)
    • Acordo B: a=450,\\ b=150.
    • Acordo C: a=550,\\ b=250.
  • O que pediram: calcular, para os acordos B e C, (i) o lucro esperado e (ii) a variância do lucro; e (iii) indicar qual acordo recomendar ao dono da loja.

Passo 2

Modelagem do lucro e fórmulas que vamos usar (aqui explico devagar, passo a passo).
  • Custo total pago pela loja ao comprar 3 computadores: 3a.
  • Receita de venda quando se vendem X unidades: 1000X.
  • Valor recebido do fabricante pelas unidades devolvidas: b(3-X) (pois são 3-X não vendidas).
  • Portanto o lucro (variável aleatória) L é L = 1000X + b(3-X) - 3a.Vamos simplificar essa expressão para ficar mais fácil de trabalhar: L = (1000-b)X + 3(b-a).Isso é útil porque para cada acordo os coeficientes (1000-b) e 3(b-a) são constantes, e L é uma função linear de X.
  • Fórmulas de estatística (explicando como e por que usar):
    • O valor esperado de L é a média ponderada dos valores possíveis de L: \mathbb{E}(L)=\sum_{x=0}^{3} L(x)\,\mathbb{P}(X=x).Se escrevermos L(x)=\alpha x+\beta (linear), vale também \mathbb{E}(L)=\alpha\,\mathbb{E}(X)+\beta.
    • A variância de L mede a dispersão em torno da média. Uma forma prática de calcular é \operatorname{Var}(L)=\mathbb{E}(L^2)-\big(\mathbb{E}(L)\big)^2,onde \mathbb{E}(L^2)=\sum_{x} L(x)^2 \mathbb{P}(X=x).
    • Vou usar essas fórmulas discretas diretamente, calculando L(x) para x=0,1,2,3, depois \mathbb{E}(L), \mathbb{E}(L^2) e \operatorname{Var}(L).

Passo 3

Cálculo para o Acordo B ( a=450,\\ b=150).
  • Primeiro calcule os parâmetros da fórmula L=(1000-b)X+3(b-a): 1000-b = 1000-150 = 850,
3(b-a)=3(150-450)=3(-300)=-900.
Assim
L = 850X - 900.
  • Agora calcule L(x) para x=0,1,2,3: L(0) = -900,\quad L(1) = -900+850 = -50,
L(2) = -900+2\cdot850 = 800,\quad L(3) = -900+3\cdot850 = 1650.
  • Valor esperado \mathbb{E}(L): \mathbb{E}(L)=0,1\cdot(-900)+0,2\cdot(-50)+0,3\cdot800+0,4\cdot1650.Calcule termo a termo: 0,1\cdot(-900)=-90,\quad 0,2\cdot(-50)=-10,\quad 0,3\cdot800=240,\quad 0,4\cdot1650=660.Somando: \mathbb{E}(L)=-90-10+240+660=800.Logo o lucro esperado no Acordo B é \mathbb{E}(L)=800 dólares.
  • Agora \mathbb{E}(L^2) (para a variância) — calcule L(x)^2 e depois a média: L(0)^2 = (-900)^2 = 810000,
L(1)^2 = (-50)^2 = 2500,\quad L(2)^2 = 800^2 = 640000,\quad L(3)^2 = 1650^2 = 2722500.
Então
\mathbb{E}(L^2)=0,1\cdot810000+0,2\cdot2500+0,3\cdot640000+0,4\cdot2722500.
Calculando:
\mathbb{E}(L^2)=81000+500+192000+1089000=1362500.
  • Finalmente a variância: \operatorname{Var}(L)=\mathbb{E}(L^2)-\big(\mathbb{E}(L)\big)^2=1362500-800^2=1362500-640000=722500.A unidade é \text{dólares}^2ó. O desvio padrão (para intuição) é \sqrt{722500}=850 dólares.

Passo 4

Cálculo para o Acordo C ( a=550,\\ b=250).
  • Parâmetros: 1000-b = 1000-250 = 750,
3(b-a)=3(250-550)=3(-300)=-900.
Assim
L = 750X - 900.
  • Valores de L(x): L(0)=-900,\quad L(1)=-150,\quad L(2)=600,\quad L(3)=1350.
  • Valor esperado: \mathbb{E}(L)=0,1\cdot(-900)+0,2\cdot(-150)+0,3\cdot600+0,4\cdot1350.Termos: -90,\\\ -30,\\\ 180,\\\ 540Soma: \mathbb{E}(L)=-90-30+180+540=600.Logo \mathbb{E}(L)=600 dólares no Acordo C.
  • Agora \mathbb{E}(L^2): L(0)^2=810000,\\ L(1)^2=22500,\\ L(2)^2=360000,\\ L(3)^2=1822500.Então \mathbb{E}(L^2)=0,1\cdot810000+0,2\cdot22500+0,3\cdot360000+0,4\cdot1822500.Calculando: \mathbb{E}(L^2)=81000+4500+108000+729000=922500.
  • Variância: \operatorname{Var}(L)=922500-600^2=922500-360000=562500.Unidade \text{dólares}^2ó. O desvio padrão é \sqrt{562500}=750 dólares.

Passo 5

Comparação prática e recomendação (explicando o raciocínio).
  • Resumo numérico:
    • Acordo A (dado em aula): \mathbb{E}(L)=700,\\ \operatorname{Var}(L)=640000 ( \sigma=800).
    • Acordo B (calculado): \mathbb{E}(L)=800,\\ \operatorname{Var}(L)=722500 ( \sigma=850).
    • Acordo C (calculado): \mathbb{E}(L)=600,\\ \operatorname{Var}(L)=562500 ( \sigma=750).
  • Interpretação e escolha:
    • Se o objetivo é maximizar o lucro esperado (decisão típica quando se tem apetite ao risco ou quando pequenas variações são toleráveis), o melhor é o Acordo B, porque tem maior \mathbb{E}(L)=800 dólares.
    • Se o dono da loja for avesso ao risco e preferir menor variabilidade no lucro (menor desvio padrão), o Acordo C apresenta menor variância/desvio padrão ( \sigma=750), sacrificando 200 dólares de expectativa em relação ao B.
  • Recomendação concreta (considerando que normalmente um dono de loja quer maximizar lucro esperado, a menos que declare explicitamente aversão ao risco): recomendo o Acordo B, pois fornece o maior lucro esperado ( \$800), apesar de ter a maior variabilidade; se o dono for muito conservador quanto à incerteza, então escolheria o Acordo C.

Resposta

Acordo B: \mathbb{E}(L)=800 (dólares); \operatorname{Var}(L)=722{,}500 (dólares ^2).
Acordo C: \mathbb{E}(L)=600 (dólares); \operatorname{Var}(L)=562{,}500 (dólares ^2).
Recomendação: aceitar o Acordo B (maximiza o lucro esperado; escolher C apenas se houver forte aversão ao risco).

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