(Devore adaptado) Uma loja de computadores comprou três computadores de certo tipo por a dólares cada. Eles serão vendidos a 1000 dólares cada. O fabricante concordou em aceitar a devolução dos computadores não vendidos, após um período especificado, pagando
dólares por computador devolvido. Seja
a quantidade de computadores vendidos, a tabela abaixo mostra a f.m.p de
.
0
1
2
3
0,1
0,2
0,3
0,4
Suponha que o vendedor tenha negociado com o fabricante e que o fabricante concordou em três acordos possíveis para o preço de venda
e o valor que pagará por computador devolvido
, sendo eles:
- Acordo A:
e
.
- Acordo B:
e
- Acordo C:
e
Em aula vimos que o Acordo A resulta num lucro esperado de 700 dólares e que a variância do lucro nesse caso é de 640.000 dólares
. Calcule o lucro esperado e a variância do lucro considerando os demais acordos. Qual dos acordos você recomendaria que o dono da loja aceitasse?
|
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0 | 1 | 2 | 3 |
|
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0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, em linguagem bem direta (peguei as probabilidades da tabela do enunciado).
- Variável aleatória
= número de computadores vendidos, com distribuição: - Preço de venda por computador:
(fixo). - Custos e devoluções por acordo:
- Acordo A:
. (Em aula foi dado: lucro esperado e variância .) - Acordo B:
. - Acordo C:
.
- Acordo A:
- O que pediram: calcular, para os acordos B e C, (i) o lucro esperado e (ii) a variância do lucro; e (iii) indicar qual acordo recomendar ao dono da loja.
Passo 2
Modelagem do lucro e fórmulas que vamos usar (aqui explico devagar, passo a passo).
- Custo total pago pela loja ao comprar 3 computadores:
. - Receita de venda quando se vendem
unidades: . - Valor recebido do fabricante pelas unidades devolvidas:
(pois são não vendidas). - Portanto o lucro (variável aleatória)
é Vamos simplificar essa expressão para ficar mais fácil de trabalhar: Isso é útil porque para cada acordo os coeficientes e são constantes, e é uma função linear de . - Fórmulas de estatística (explicando como e por que usar):
- O valor esperado de
é a média ponderada dos valores possíveis de : Se escrevermos (linear), vale também . - A variância de
mede a dispersão em torno da média. Uma forma prática de calcular é onde . - Vou usar essas fórmulas discretas diretamente, calculando
para , depois , e .
- O valor esperado de
Passo 3
Cálculo para o Acordo B (
).
- Primeiro calcule os parâmetros da fórmula
:
Assim
- Agora calcule
para :
- Valor esperado
: Calcule termo a termo: Somando: Logo o lucro esperado no Acordo B é dólares. - Agora
(para a variância) — calcule e depois a média:
Então
Calculando:
- Finalmente a variância:
A unidade é . O desvio padrão (para intuição) é dólares.
Passo 4
Cálculo para o Acordo C (
).
- Parâmetros:
Assim
- Valores de
: - Valor esperado:
Termos: Soma: Logo dólares no Acordo C. - Agora
: Então Calculando: - Variância:
Unidade . O desvio padrão é dólares.
Passo 5
Comparação prática e recomendação (explicando o raciocínio).
- Resumo numérico:
- Acordo A (dado em aula):
( ). - Acordo B (calculado):
( ). - Acordo C (calculado):
( ).
- Acordo A (dado em aula):
- Interpretação e escolha:
- Se o objetivo é maximizar o lucro esperado (decisão típica quando se tem apetite ao risco ou quando pequenas variações são toleráveis), o melhor é o Acordo B, porque tem maior
dólares. - Se o dono da loja for avesso ao risco e preferir menor variabilidade no lucro (menor desvio padrão), o Acordo C apresenta menor variância/desvio padrão (
), sacrificando dólares de expectativa em relação ao B.
- Se o objetivo é maximizar o lucro esperado (decisão típica quando se tem apetite ao risco ou quando pequenas variações são toleráveis), o melhor é o Acordo B, porque tem maior
- Recomendação concreta (considerando que normalmente um dono de loja quer maximizar lucro esperado, a menos que declare explicitamente aversão ao risco): recomendo o Acordo B, pois fornece o maior lucro esperado (
), apesar de ter a maior variabilidade; se o dono for muito conservador quanto à incerteza, então escolheria o Acordo C.
Resposta
Acordo B:
(dólares);
(dólares
).
Acordo C: (dólares);
(dólares
).
Recomendação: aceitar o Acordo B (maximiza o lucro esperado; escolher C apenas se houver forte aversão ao risco).
Acordo C:
Recomendação: aceitar o Acordo B (maximiza o lucro esperado; escolher C apenas se houver forte aversão ao risco).