A empresa MicroSilicon fabrica transistores em lotes de 30 unidades. Um estudo de qualidade revelou que o número de transistores defeituosos por lote segue a distribuição abaixo. Um lote é rejeitado se, em uma amostra de 5 transistores selecionados aleatoriamente, pelo menos 2 forem defeituosos.
№ DE DEFEITUOSOS
0.30
0.40
0.20
0.08
0.02
b) Sabendo que um lote foi aceito, qual a probabilidade de que ele tivesse nenhum transistor defeituoso?
c) Qual o número esperado de defeituosos nos lotes aceitos?
| № DE DEFEITUOSOS
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0.30 | 0.40 | 0.20 | 0.08 | 0.02 |
c) Qual o número esperado de defeituosos nos lotes aceitos?
Passo 1
O enunciado dá a distribuição do número de defeituosos por lote de 30 transistores,
, com suporte
e probabilidades:
Um lote é rejeitado se numa amostra aleatória sem reposição de 5 transistores houver pelo menos 2 defeituosos; portanto o lote é aceito quando na amostra aparecem 0 ou 1 defeituoso.
As perguntas pedem:
As perguntas pedem:
- (b) Sabendo que um lote foi aceito, qual a probabilidade de que ele tivesse nenhum transistor defeituoso? Ou seja,
. - (c) Qual o número esperado de defeituosos nos lotes aceitos? Ou seja,
.
Passo 2
Vamos modelar a amostragem usando a distribuição hipergeométrica (amostragem sem reposição). Se o lote tem
defeituosos entre 30 itens, a probabilidade de obter exatamente
defeituosos numa amostra de 5 é
Explicando isso rapidinho (sem mistério):
escolhe quais
defeituosos vêm da população de
,
escolhe os restantes não defeituosos, e dividimos por
que é o total de amostras possíveis de tamanho 5.
Como lote é aceito quando a amostra tem
ou
defeituoso, definimos
Vamos calcular
para cada
. Primeiro o denominador comum:
Passo 3
Cálculo de
caso a caso.
Para
: não há defeituosos no lote, logo a amostra sempre tem 0 defeituoso, então
Para
: há no máximo um defeituoso no lote; a amostra terá 0 ou 1 defeituoso com certeza, então
Para
: usando hipergeométrica,
Calculando combinações:
Portanto o numerador é
e
Para
:
Numerador
, então
Para
:
Numerador
, então
Resumo dos
:
Passo 4
Agora calculamos a probabilidade de aceitação do lote (lei total da probabilidade):
Substituindo os dados:
Fazendo as contas (aproximações decimais):
(Arredondado,
.)
Passo 5
(b) Queremos
. Aplicando a fórmula de Bayes:
Substituindo o
calculado:
Passo 6
(c) Queremos
. Usamos a definição de esperança condicional:
Calculemos o numerador:
Valores numéricos:
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Resposta
b)
c)