No segundo turno da eleição municipal, 40 \% da população é favorável aó candidato A. Se 10 eleitores são selecionados ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de pelo menos 6 deles serem favoráveis ao candidato A ?

Passo 1

O enunciado e os dados importantes (vou listar direitinho para não ficar perdido):
  • A fração da população favorável ao candidato A é 0{,}40 (ou seja, 40\%).
  • Serão selecionados 10 eleitores ao acaso, com reposição (logo as escolhas são independentes e cada uma tem mesma probabilidade).
  • O que se pergunta: qual a probabilidade de que, entre esses 10 eleitores, pelo menos 6 sejam favoráveis ao candidato A?

Passo 2

Modelagem do problema e definição da variável aleatória.
  • Cada eleitor selecionado pode ser classificado como “sucesso” se for favorável a A, e “falha” caso contrário. Como há reposição e cada eleitor tem probabilidade fixa 0{,}40 de ser favorável, cada seleção é um ensaio de Bernoulli independente.
  • Seja X a variável aleatória “número de eleitores favoráveis” entre os 10 selecionados. Então X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=10 (número de ensaios) e p=0{,}40 (probabilidade de sucesso em cada ensaio). Escrevemos isso assim:
X \sim \text{Binomial}(n=10,\;p=0{,}40).
  • A função de probabilidade (pmf) da binomial é:
P(X=k)=\binom{10}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{10-k},
onde \binom{10}{k} é o número de maneiras de escolher quais k dos 10 são sucessos.
Explicando \binom{10}{k}: é a combinação de 10 elementos tomados k a k, dada por
\binom{10}{k}=\frac{10!}{k!\,(10-k)!},
onde m! (fatorial) é o produto m!=m\cdot(m-1)\cdots1. Por exemplo \binom{10}{2}=45, \binom{10}{5}=252, etc. Não precisa decorar todos, mas os valores para n=10 são bem conhecidos ou podem ser calculados com conta simples.

Passo 3

Expressar a probabilidade pedida em termos da binomial e escolher estratégia de cálculo.
  • Queremos P(X\ge6), ou seja:
P(X\ge6)=\sum_{k=6}^{10} \binom{10}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{10-k}.
  • Uma forma prática é usar o complemento:
P(X\ge6)=1-P(X\le5)=1-\sum_{k=0}^{5} \binom{10}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{10-k}.
Isso é vantajoso porque somar k=0 a 5 dá menos termos do que 6 a 10 (são igualmente muitos, mas em geral é uma forma comum). Vou usar o complemento.
Aqui p=0{,}40 e 1-p=0{,}60. Vou calcular cada termo P(X=k) para k=0,1,\dots,5 e somar.

Passo 4

Calcular cada termo P(X=k)=\binom{10}{k}\,(0{,}40)^{k}\,(0{,}60)^{10-k} para k=0,\dots,5.
  • Para k=0:
\binom{10}{0}=1,\qquad P(X=0)=(0{,}60)^{10}.
Calculando potências (passo a passo): (0{,}60)^{2}=0{,}36, (0{,}60)^{4}=0{,}36^{2}=0{,}1296, (0{,}60)^{8}=0{,}1296^{2}=0{,}01679616. Então
P(X=0)=(0{,}60)^{10}=(0{,}60)^{8}\cdot(0{,}60)^{2}=0{,}01679616\cdot0{,}36=0{,}0060466176.
  • Para k=1:
\binom{10}{1}=10,\qquad P(X=1)=10\cdot(0{,}40)\cdot(0{,}60)^{9}.
Como (0{,}60)^{9}=(0{,}60)^{8}\cdot0{,}60=0{,}01679616\cdot0{,}60=0{,}010077696. Logo
P(X=1)=10\cdot0{,}40\cdot0{,}010077696=4\cdot0{,}010077696=0{,}040310784.
  • Para k=2:
\binom{10}{2}=45,\qquad P(X=2)=45\cdot(0{,}40)^{2}\cdot(0{,}60)^{8}.
Temos (0{,}40)^{2}=0{,}16 e (0{,}60)^{8}=0{,}01679616. Então
P(X=2)=45\cdot0{,}16\cdot0{,}01679616=45\cdot0{,}0026873856=0{,}120932352.
  • Para k=3:
\binom{10}{3}=120,\qquad P(X=3)=120\cdot(0{,}40)^{3}\cdot(0{,}60)^{7}.
(0{,}40)^{3}=0{,}064. Como (0{,}60)^{7}=(0{,}60)^{8}/0{,}60=0{,}01679616/0{,}60=0{,}0279936. Assim
P(X=3)=120\cdot0{,}064\cdot0{,}0279936=120\cdot0{,}0017915904=0{,}214990848.
  • Para k=4:
\binom{10}{4}=210,\qquad P(X=4)=210\cdot(0{,}40)^{4}\cdot(0{,}60)^{6}.
(0{,}40)^{4}=0{,}0256. (0{,}60)^{6}=0{,}046656. Logo
P(X=4)=210\cdot0{,}0256\cdot0{,}046656=210\cdot0{,}0011943936=0{,}250822656.
  • Para k=5:
\binom{10}{5}=252,\qquad P(X=5)=252\cdot(0{,}40)^{5}\cdot(0{,}60)^{5}.
(0{,}40)^{5}=0{,}01024. (0{,}60)^{5}=0{,}07776. Então
P(X=5)=252\cdot0{,}01024\cdot0{,}07776=252\cdot0{,}0007962624=0{,}2006581248.

Passo 5

Somar os termos P(X=0)+\cdots+P(X=5) e usar o complemento.
  • Soma dos valores calculados:
\begin{aligned} P(X\le5)&=0{,}0060466176+0{,}040310784+0{,}120932352\\\ &\qquad+0{,}214990848+0{,}250822656+0{,}2006581248\\\ &=0{,}8337613824. \end{aligned}
  • Portanto
P(X\ge6)=1-P(X\le5)=1-0{,}8337613824=0{,}1662386176.
Arredondando de forma prática, isso é aproximadamente 0{,}16624, ou em porcentagem cerca de 16{,}624\%.
Interpretação rápida e ânimo: isso significa que, se 40\% da população apoia A, a chance de em uma amostra de 10 pessoas pelo menos 6 apoiarem A é relativamente baixa — cerca de 16{,}6\%. Tá ficando bom — respira, isso é um cálculo padrão de binomial que aparece muito em prova.

Resposta

0{,}1662386176

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