No segundo turno da eleição municipal,
da população é favorável aó candidato A. Se 10 eleitores são selecionados ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de pelo menos 6 deles serem favoráveis ao candidato A ?
Passo 1
O enunciado e os dados importantes (vou listar direitinho para não ficar perdido):
- A fração da população favorável ao candidato A é
(ou seja, ). - Serão selecionados
eleitores ao acaso, com reposição (logo as escolhas são independentes e cada uma tem mesma probabilidade). - O que se pergunta: qual a probabilidade de que, entre esses
eleitores, pelo menos sejam favoráveis ao candidato A?
Passo 2
Modelagem do problema e definição da variável aleatória.
- Cada eleitor selecionado pode ser classificado como “sucesso” se for favorável a A, e “falha” caso contrário. Como há reposição e cada eleitor tem probabilidade fixa
de ser favorável, cada seleção é um ensaio de Bernoulli independente. - Seja
a variável aleatória “número de eleitores favoráveis” entre os selecionados. Então segue uma distribuição binomial com parâmetros (número de ensaios) e (probabilidade de sucesso em cada ensaio). Escrevemos isso assim:
- A função de probabilidade (pmf) da binomial é:
onde
é o número de maneiras de escolher quais
dos
são sucessos.
Explicando
: é a combinação de
elementos tomados
a
, dada por
onde
(fatorial) é o produto
. Por exemplo
,
, etc. Não precisa decorar todos, mas os valores para
são bem conhecidos ou podem ser calculados com conta simples.
Passo 3
Expressar a probabilidade pedida em termos da binomial e escolher estratégia de cálculo.
- Queremos
, ou seja:
- Uma forma prática é usar o complemento:
Isso é vantajoso porque somar
a
dá menos termos do que
a
(são igualmente muitos, mas em geral é uma forma comum). Vou usar o complemento.
Aqui
e
. Vou calcular cada termo
para
e somar.
Passo 4
Calcular cada termo
para
.
- Para
:
Calculando potências (passo a passo):
,
,
. Então
- Para
:
Como
. Logo
- Para
:
Temos
e
. Então
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Somar os termos
e usar o complemento.
- Soma dos valores calculados:
- Portanto
Arredondando de forma prática, isso é aproximadamente
, ou em porcentagem cerca de
.
Interpretação rápida e ânimo: isso significa que, se
da população apoia A, a chance de em uma amostra de
pessoas pelo menos
apoiarem A é relativamente baixa — cerca de
. Tá ficando bom — respira, isso é um cálculo padrão de binomial que aparece muito em prova.