Em uma indústria que produz parafusos sabe-se que há uma probabilidade de 0,05 que um parafuso selecionado aleatoriamente seja defeituoso. Considere que:
(b) Selecionamos parafusos aleatoriamente até que o segundo parafuso defeituoso seja selecionado, qual a probabilidade de selecionarmos ao menos dois parafusos bons antes de selecionarmos dois defeituosos?

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que nos pede.
  • Probabilidade de um parafuso ser defeituoso: p=0,05.
  • Probabilidade de um parafuso ser bom: 1-p=0,95.
  • Procedimento: selecionamos parafusos aleatoriamente e paramos quando o segundo parafuso defeituoso é selecionado.
  • Pergunta: qual a probabilidade de selecionarmos ao menos dois parafusos bons antes de selecionarmos dois defeituosos?
    Em outras palavras: qual a probabilidade de que, até o momento em que o segundo defeituoso aparece, já tenhamos observado pelo menos dois parafusos bons?

Passo 2

Escolha do método e ideia básica (explicação didática).
Para modelar “o número de sorteios até aparecer o r-ésimo evento (aqui: defeituoso)”, usamos uma distribuição que conta quantos sorteios são necessários até obter um número fixo de sucessos. A forma prática para este caso é a seguinte fórmula (vai aparecer na próxima linha) que dá a probabilidade de o r-ésimo defeituoso ocorrer exatamente no n-ésimo sorteio.
A fórmula geral (explicando cada parte):
P(X=n)=\binom{n-1}{r-1}\,p^{r}\,(1-p)^{\,n-r},
onde
  • X é a variável “número de sorteios até ocorrer o r-ésimo defeituoso”,
  • r é o número de defeituosos que queremos (aqui r=2),
  • n é o número total de sorteios até o r-ésimo defeituoso ( n\ge r),
  • p é a probabilidade de defeito em cada sorteio ( p=0,05),
  • \binom{n-1}{r-1} conta as maneiras de posicionar os r-1 defeituosos nos primeiros n-1 sorteios,
  • p^{r} corresponde aos r defeituosos (incluindo o do n-ésimo sorteio),
  • (1-p)^{n-r} corresponde aos n-r parafusos bons entre os n sorteios.
Vou aplicar essa fórmula com r=2.

Passo 3

Relacione a pergunta com a variável X.
A condição “selecionarmos ao menos dois parafusos bons antes de selecionarmos dois defeituosos” significa que, no instante em que o segundo defeituoso aparece (isto é, quando X ocorre), já existiam pelo menos dois parafusos bons entre os sorteios anteriores. Como antes do segundo defeituoso só pode haver exatamente um defeituoso, isso implica que o número de sorteios até o segundo defeituoso satisfaz X\ge 4 (pois precisamos de pelo menos 1 defeituoso + 2 bons = 3 sorteios antes do sorteio final, logo o sorteio do segundo defeituoso é o \ge 4-ésimo).
Portanto a probabilidade pedida é
P(X\ge 4)=1-P(X\le 3)=1-\big(P(X=2)+P(X=3)\big).
Agora calculamos P(X=2) e P(X=3) usando a fórmula para r=2.

Passo 4

Cálculo de P(X=2) e P(X=3).
Primeiro, p=0,05 e 1-p=0,95. Calculemos p^{2}:
p^{2}=(0,05)^{2}=0,0025.
Agora
P(X=2)=\binom{1}{1}p^{2}(1-p)^{0}=1\cdot p^{2}\cdot 1 = 0,0025.
E
P(X=3)=\binom{2}{1}p^{2}(1-p)^{1}=2\cdot p^{2}\cdot(1-p).
Substituindo números:
P(X=3)=2\cdot 0,0025\cdot 0,95 = 2\cdot 0,002375 = 0,00475.
Somando:
P(X=2)+P(X=3)=0,0025+0,00475=0,00725.

Passo 5

Complemento e resposta final (cálculo final e interpretação rápida).
P(X\ge 4)=1-0,00725=0,99275.
Interpretação curta e motivadora: com defeito raro ( 5\%), é muito provável ( \approx99{,}275\%) que antes do segundo defeituoso apareçam pelo menos dois parafusos bons — faz sentido intuitivo e é o que os cálculos mostram. Vai dar certo na prova, respira aí, você mandou bem chegando até aqui!

Resposta

\,0,99275

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