Em uma indústria que produz parafusos sabe-se que há uma probabilidade de 0,05 que um parafuso selecionado aleatoriamente seja defeituoso. Considere que:
(b) Selecionamos parafusos aleatoriamente até que o segundo parafuso defeituoso seja selecionado, qual a probabilidade de selecionarmos ao menos dois parafusos bons antes de selecionarmos dois defeituosos?
(b) Selecionamos parafusos aleatoriamente até que o segundo parafuso defeituoso seja selecionado, qual a probabilidade de selecionarmos ao menos dois parafusos bons antes de selecionarmos dois defeituosos?
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que nos pede.
- Probabilidade de um parafuso ser defeituoso:
. - Probabilidade de um parafuso ser bom:
. - Procedimento: selecionamos parafusos aleatoriamente e paramos quando o segundo parafuso defeituoso é selecionado.
- Pergunta: qual a probabilidade de selecionarmos ao menos dois parafusos bons antes de selecionarmos dois defeituosos?
Em outras palavras: qual a probabilidade de que, até o momento em que o segundo defeituoso aparece, já tenhamos observado pelo menos dois parafusos bons?
Passo 2
Escolha do método e ideia básica (explicação didática).
Para modelar “o número de sorteios até aparecer o -ésimo evento (aqui: defeituoso)”, usamos uma distribuição que conta quantos sorteios são necessários até obter um número fixo de sucessos. A forma prática para este caso é a seguinte fórmula (vai aparecer na próxima linha) que dá a probabilidade de o
-ésimo defeituoso ocorrer exatamente no
-ésimo sorteio.
Para modelar “o número de sorteios até aparecer o
A fórmula geral (explicando cada parte):
onde
-
é a variável “número de sorteios até ocorrer o -ésimo defeituoso”, -
é o número de defeituosos que queremos (aqui ), -
é o número total de sorteios até o -ésimo defeituoso ( ), -
é a probabilidade de defeito em cada sorteio ( ), -
conta as maneiras de posicionar os defeituosos nos primeiros sorteios, -
corresponde aos defeituosos (incluindo o do -ésimo sorteio), -
corresponde aos parafusos bons entre os sorteios.
Vou aplicar essa fórmula com
.
Passo 3
Relacione a pergunta com a variável
.
A condição “selecionarmos ao menos dois parafusos bons antes de selecionarmos dois defeituosos” significa que, no instante em que o segundo defeituoso aparece (isto é, quando ocorre), já existiam pelo menos dois parafusos bons entre os sorteios anteriores. Como antes do segundo defeituoso só pode haver exatamente um defeituoso, isso implica que o número de sorteios até o segundo defeituoso satisfaz
(pois precisamos de pelo menos 1 defeituoso + 2 bons = 3 sorteios antes do sorteio final, logo o sorteio do segundo defeituoso é o
-ésimo).
A condição “selecionarmos ao menos dois parafusos bons antes de selecionarmos dois defeituosos” significa que, no instante em que o segundo defeituoso aparece (isto é, quando
Portanto a probabilidade pedida é
Agora calculamos
e
usando a fórmula para
.
Passo 4
Cálculo de
e
.
Primeiro,
e
. Calculemos
:
Agora
E
Substituindo números:
Somando:
Passo 5
Complemento e resposta final (cálculo final e interpretação rápida).
Interpretação curta e motivadora: com defeito raro (
), é muito provável (
) que antes do segundo defeituoso apareçam pelo menos dois parafusos bons — faz sentido intuitivo e é o que os cálculos mostram. Vai dar certo na prova, respira aí, você mandou bem chegando até aqui!