(Devore adaptado) Sabe-se que cerca de 10 organismos estão presentes em
água de lastro descarregada de um navio.
Qual é a probabilidade de que um metro cúbico de descarga contenha pelo menos 8 organismos?
Qual é a probabilidade de que um metro cúbico de descarga contenha pelo menos 8 organismos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
- Informação dada: cerca de 10 organismos estão presentes em
de água de lastro. Ou seja, a contagem média por metro cúbico é . - Pergunta: qual é a probabilidade de que um metro cúbico de descarga contenha pelo menos 8 organismos? Em símbolos, quer-se calcular
onde é o número de organismos em .
Passo 2
Modelagem e formula que vamos usar (aula rápida e simples).
- Por que modelar com Poisson? Quando contamos eventos discretos (aqui: organismos) em uma unidade fixa de espaço/tempo e os eventos são raros/independentes e a média é conhecida, é natural usar a distribuição de Poisson. A Poisson descreve a probabilidade de ocorrerem
eventos quando a média esperada é . - Defina a variável aleatória:
= número de organismos em . - Hipótese razoável:
segue a distribuição de Poisson com parâmetro . Escrevemos isso como com . - Fórmula da função massa de probabilidade (pmf) da Poisson: para
,
Aqui
é a média esperada (aqui
),
é o fatorial de
(por exemplo,
), e
é a base dos logaritmos naturais.
Passo 3
Transformar o evento pedido numa expressão que podemos calcular.
- A probabilidade pedida é
. - É mais simples usar o complementar:
. - Escrevendo em soma:
- Substituindo
:
Passo 4
Calcular a soma
passo a passo (para fazer à mão sem pular etapas).
Calcule termo a termo:
Somando todos esses termos:
Agora multiplica por
. Uma boa aproximação numérica é
Portanto
Passo 5
Concluir a partir do complementar (sem repetir o valor final aqui, apenas a expressão).
- Como
e obtivemos , temos