(Devore adaptado) Sabe-se que cerca de 10 organismos estão presentes em 1 \mathrm{~m}^{3} água de lastro descarregada de um navio.
Qual é a probabilidade de que um metro cúbico de descarga contenha pelo menos 8 organismos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
  • Informação dada: cerca de 10 organismos estão presentes em 1\\ \mathrm{m}^3 de água de lastro. Ou seja, a contagem média por metro cúbico é \lambda=10.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que um metro cúbico de descarga contenha pelo menos 8 organismos? Em símbolos, quer-se calcular \mathbb{P}(X\ge 8) onde X é o número de organismos em 1\\ \mathrm{m}^3.

Passo 2

Modelagem e formula que vamos usar (aula rápida e simples).
  • Por que modelar com Poisson? Quando contamos eventos discretos (aqui: organismos) em uma unidade fixa de espaço/tempo e os eventos são raros/independentes e a média é conhecida, é natural usar a distribuição de Poisson. A Poisson descreve a probabilidade de ocorrerem k eventos quando a média esperada é \lambda.
  • Defina a variável aleatória: X = número de organismos em 1\\ \mathrm{m}^3.
  • Hipótese razoável: X segue a distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=10. Escrevemos isso como X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda) com \lambda=10.
  • Fórmula da função massa de probabilidade (pmf) da Poisson: para k=0,1,2,\dots,
\mathbb{P}(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Aqui \lambda é a média esperada (aqui \lambda=10), k! é o fatorial de k (por exemplo, 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1), e e é a base dos logaritmos naturais.

Passo 3

Transformar o evento pedido numa expressão que podemos calcular.
  • A probabilidade pedida é \mathbb{P}(X\ge 8).
  • É mais simples usar o complementar: \mathbb{P}(X\ge 8)=1-\mathbb{P}(X\le 7).
  • Escrevendo em soma:
\mathbb{P}(X\ge 8)=1-\sum_{k=0}^{7} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
  • Substituindo \lambda=10:
\mathbb{P}(X\ge 8)=1-e^{-10}\sum_{k=0}^{7}\frac{10^{k}}{k!}.

Passo 4

Calcular a soma \displaystyle S=\sum_{k=0}^{7}\frac{10^{k}}{k!} passo a passo (para fazer à mão sem pular etapas).
Calcule termo a termo:
\begin{aligned} \frac{10^{0}}{0!}&=1,\\[4pt] \frac{10^{1}}{1!}&=10,\\[4pt] \frac{10^{2}}{2!}&=\frac{100}{2}=50,\\[4pt] \frac{10^{3}}{3!}&=\frac{1000}{6}=166{,}666666\ldots,\\[4pt] \frac{10^{4}}{4!}&=\frac{10000}{24}=416{,}666666\ldots,\\[4pt] \frac{10^{5}}{5!}&=\frac{100000}{120}=833{,}333333\ldots,\\[4pt] \frac{10^{6}}{6!}&=\frac{1000000}{720}=1388{,}888888\ldots,\\[4pt] \frac{10^{7}}{7!}&=\frac{10000000}{5040}\approx1984{,}126984\ldots \end{aligned}
Somando todos esses termos:
S=1+10+50+166{,}666666\ldots+416{,}666666\ldots+833{,}333333\ldots+1388{,}888888\ldots+1984{,}126984\ldots
S\approx 4850{,}6825396825397.
Agora multiplica por e^{-10}. Uma boa aproximação numérica é
e^{-10}\approx 4{,}5399929762484854\times 10^{-5}.
Portanto
\mathbb{P}(X\le 7)=e^{-10}\,S\approx 4{,}539992976\times10^{-5}\times 4850{,}682539\approx 0{,}220220\\ (\text{aprox.}).]

Passo 5

Concluir a partir do complementar (sem repetir o valor final aqui, apenas a expressão).
  • Como \mathbb{P}(X\ge 8)=1-\mathbb{P}(X\le 7) e obtivemos \mathbb{P}(X\le 7)\approx 0{,}220220, temos
\mathbb{P}(X\ge 8)=1-0{,}220220\\ (\text{aprox.}).

Resposta

0,779780

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