Dez candidatos a um emprego foram submetidos a um teste. A tabela a seguir, mostra a nota obtida por cada candidato e seu respectivo tempo de experiência na área.
Candidato
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nota no teste (X)
2
6
7
6
5
9
8
4
3
10
Anos de experiência(Y)
3
6
5
7
6
10
9
3
2
9
a) Construa um diagrama de dispersão para estes dados.
b) Qual é o coeficiente de correlaçõo entre as variáveis Nota no teste (X) e Anos de experiência (Y)? Interprete o resultado.
c) Se for ajustada uma reta aos valores de Xe Y , qual o valor do coeficiente angular b ?
d) Represente graficamente a reta.
| Candidato | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Nota no teste (X) | 2 | 6 | 7 | 6 | 5 | 9 | 8 | 4 | 3 | 10 |
| Anos de experiência(Y) | 3 | 6 | 5 | 7 | 6 | 10 | 9 | 3 | 2 | 9 |
b) Qual é o coeficiente de correlaçõo entre as variáveis Nota no teste (X) e Anos de experiência (Y)? Interprete o resultado.
c) Se for ajustada uma reta aos valores de Xe Y , qual o valor do coeficiente angular b ?
d) Represente graficamente a reta.
Passo 1
O enunciado dá as notas no teste
e os anos de experiência
para
candidatos e pede quatro coisas:
- (a) construir um diagrama de dispersão desses pontos;
- (b) calcular o coeficiente de correlação entre
e e interpretar o resultado; - (c) ajustar uma reta aos valores de
e e dar o coeficiente angular ; - (d) representar graficamente essa reta.
As informações fornecidas (peguei da tabela do enunciado) são os pares
:
Passo 2
Vamos começar calculando as médias de
e de
. Lembra que a média é a soma dos valores dividida pelo número de observações; isso centraliza os dados e facilita os cálculos de variância e covariância.
Soma de
:
logo a média de
é
Soma de
:
logo a média de
é
Observação simpática: as duas médias coincidem:
. Isso deixa os cálculos mais simples.
Passo 3
Para calcular correlação e regressão precisamos das somas dos quadrados e da soma dos produtos das diferenças (desvios em relação às médias). Vou montar mentalmente uma tabela de desvios
, seus quadrados e o produto. Eu explico cada linha e depois somo tudo.
Faço para cada par
:
-
: Então -
: → quadrados , produto . -
: → quadrados , produto . -
: → quadrados , produto . -
: → quadrados , produto . -
: → quadrados , produto . -
: → quadrados , produto . -
: → quadrados , produto . -
: → quadrados , produto . -
: → quadrados , produto .
Agora somo cada coluna (essas somas são importantes e usadas nas fórmulas):
Denominamos essas somas por convenção:
Passo 4
Agora calculamos o coeficiente de correlação de Pearson
. Vou te explicar a fórmula e o porquê:
mede a intensidade e direção da associação linear entre
e
. A fórmula (para a amostra) é:
Aqui
é a soma dos produtos das diferenças,
e
são somas dos quadrados das diferenças (variâncias não divididas por
). O denominador normaliza para que
fique entre
e
.
Substituindo os valores:
Calculo
. Então
Interpretação intuitiva e direta:
indica uma correlação linear positiva forte entre Nota no teste
e Anos de experiência
. Ou seja, candidatos com notas maiores tendem a ter mais anos de experiência; a relação é bastante próxima de linearidade.
Passo 5
Agora vamos ajustar a reta de regressão linear de
em função de
. A forma padrão é:
onde
é o coeficiente angular (inclinação) e
é a interceptação (ordenada na origem). As fórmulas das estimativas pelos mínimos quadrados são:
Explico:
mede quanto, em média,
varia quando
aumenta uma unidade;
é o valor predito de
quando
(nem sempre tem interpretação prática, depende do contexto).
Substituindo os valores que calculamos:
Portanto a reta ajustada é
(ou exatamente
).
Passo 6
Como checar rapidamente se a reta “faz sentido”: quando
, a predição dá
ou seja, a reta passa pelo ponto médio
, como deve acontecer. Bom sinal.
Passo 7
Instruções didáticas para construir o diagrama de dispersão (parte a):
- No eixo horizontal (eixo
) coloque as notas no teste . Escolha escala de a (ou de a ), marcas a cada . - No eixo vertical (eixo
) coloque os anos de experiência . Escolha escala de a (ou de a ), marcas a cada . - Plote cada ponto
da lista: . - Como dica: marque o ponto médio
e note que muitos pontos estão próximos da linha de inclinação positiva.
Se você quiser desenhar à mão, use uma folha quadriculada e marque os pontos conforme acima. Se for num software (Excel, Python, R), basta fornecer a tabela de pares e pedir um scatter plot.
Passo 8
Instruções para representar graficamente a reta ajustada (parte d):
- Use a equação encontrada
. - Para desenhar a reta no mesmo gráfico do scatter, calcule dois pontos da reta (mais simples e suficiente para traçar uma reta):
- Para
: → ponto . - Para
: → ponto .
- Para
- Trace a reta que passa por esses dois pontos; ela será a reta de regressão e você verá que fica perto da nuvem de pontos do scatter.
Se preferir traçar no gráfico manualmente, marque
e
e una-os com uma régua. Em software, peça ao pacote para sobrepor a linha de regressão ao scatter.
Passo 9
Pequeno exemplo adicional para fixar (se precisar aplicar na prova):
- Se te derem somas semelhantes
, , , sempre calcule e , depois . Anote as médias primeiro; facilita tudo.
Resposta
a) Pontos do diagrama de dispersão:
.
b) Coeficiente de correlação: . Interpretação: correlação linear positiva forte entre nota no teste e anos de experiência.
c) Coeficiente angular: .
d) Reta de regressão: (traçar usando, por exemplo, os pontos
e
).
b) Coeficiente de correlação:
c) Coeficiente angular:
d) Reta de regressão: