A DHLL é um grande empresa de entregas expressas. Atualmente a empresa tem um conjunto de 150 motoristas, cada um com um automóvel atribuído. A análise do número de km percorridos por ano por cada funcionário revelou uma variável que segue uma distribuição Normal com média 80000 km e desvio padrão de 9500 km .
a. Calcule a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso percorrer num ano no máximo 90000 km .
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b. Sabendo que num trimestre há uma probabilidade de 17.5 % de um funcionário ser multado por excesso de velocidade, calcule a probabilidade de, num trimestre qualquer, mais de 24 funcionários serem multados. Use uma aproximação pela distribuição Normal para resolver esta questão.
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c. Calcule a probabilidade de um funcionário selecionado ao acaso percorrer mais de 8500 km que um outro funcionário também selecionado aleatoriamente.
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Passo 1

O enunciado diz que o número de km percorridos por ano por cada motorista segue uma distribuição Normal de média mu=80000 km e desvio padrão sigma=9500 km. São três itens:
  1. Calcular Pr(X<=90000) para XsimN(80000,9500^2).
  2. Num trimestre, cada motorista tem probabilidade p=0,175 de ser multado; para n=150 motoristas, aproximar a distribuição binomial por Normal e calcular Pr(Y>24).
  3. Selecionar dois motoristas independentes e calcular Pr(X1>X2+8500).
    Vamos usar: padronização de Normal, aproximação Normal da Binomial (com correção de continuidade) e distribuição de diferença de Normais independentes.

Passo 2

Para (a), seja XsimN(80000,9500^2). Queremos
Pr(X<=90000)=Prl(Z<=90000-800009500r),
onde ZsimN(0,1). Calculando o escore
90000-800009500approx100009500approx1,053
Da tabela da Normal padrão, Phi(1,053)approx0,8531. Logo
Pr(X<=90000)approx0,8531

Passo 3

Para (b), seja YsimBinomial(n=150,p=0,175). Mora
muY=np=150cdot0,175=26,25 e sigmaY=raiznp(1-p)=raiz150cdot0,175cdot0,825approx4,654. Queremos
Pr(Y>24)=Pr(Y>=25)
Com correção de continuidade, aproximamos por
Prl(Y>=25r)approxPrl(Z>=24,5-26,254,654r) =Prl(Z>=-0,376r)
E Pr(Z>=-0,376)=Pr(Z<=0,376)approx0,646. Logo
Pr(Y>24)approx0,646

Passo 4

Para (c), sejam X1 e X2 independentes, cada uma N(80000,9500^2). Então
D = X1 - X2simNl(0,;9500^2+9500^2r) =N(0,;(9500raiz2)^2)
O desvio padrão de D é sigmaD=9500raiz2approx13435. Queremos
Prl(X1>X2+8500r)=Pr(D>8500) =Prl(Z>8500-013435r) =Prl(Z>0,633r)
Da tabela, Pr(Z>0,633)=1-Phi(0,633)approx1-0,7365=0,2635.

Resposta

a) approx0,8531
b) approx0,646
c) approx0,264

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