Uma máquina de enchimento de garrafas (1L) de azeite de oliva opera envasando 302 garrafas por hora. A máquina está programada para preencher aproximadamente 1 litro por garrafa. Esse volume é uma variável aleatória e se distribui de forma normal com valor esperado de 972 mL e desvio padrão 17 mL . A massa (g) das garrafas vazias utilizadas no envase se distribui de forma normal com valor esperado de 419 g e desvio padrão 17 g .
Sabe-se que a densidade do azeite de oliva obtido na temporada 2021 é de 0.918 [g/mL]. Após o envase as garrafas são arranjadas em caixas de papelão, cada caixa contendo 12 garrafas. Após um dia de 18 horas de processo de envase todas as garrafas foram organizadas e encaixotadas nas caixas de papelão.
(obs: densidade é uma relação entre a massa e o volume de um material - densidade [g/mL] = massa [g] / volume [mL])
Qual a probabilidade de uma caixa selecionada aleatoriamente ter massa [g] maior que 15728 g ?
(obs: densidade é uma relação entre a massa e o volume de um material - densidade [g/mL] = massa [g] / volume [mL])
Qual a probabilidade de uma caixa selecionada aleatoriamente ter massa [g] maior que 15728 g ?
Passo 1
Resumindo o enunciado: cada garrafa cheia tem massa igual à massa da garrafa vazia mais a massa do azeite colocado. A amostra final é uma caixa com 12 garrafas. Queremos
O que vamos usar:
- conversão de volume em massa via densidade;
- soma de variáveis normais independentes é normal;
- propriedades de média e variância de soma de normais.
Passo 2
Definimos para cada garrafa
:
= volume de azeite em mL
,
= massa da garrafa vazia em g
,
com e
independentes. A densidade do azeite é
.
com
Passo 3
A massa de azeite na garrafa
é
logo
Passo 4
A massa total da garrafa
é
Como soma de normais independentes,
com
Passo 5
A caixa tem 12 garrafas, então a massa total
é normal com
Passo 6
Queremos
Pela tabela da normal padrão,
.
Resposta
A probabilidade é aproximadamente
.