Uma máquina de enchimento de garrafas (1L) de azeite de oliva opera envasando 302 garrafas por hora. A máquina está programada para preencher aproximadamente 1 litro por garrafa. Esse volume é uma variável aleatória e se distribui de forma normal com valor esperado de 972 mL e desvio padrão 17 mL . A massa (g) das garrafas vazias utilizadas no envase se distribui de forma normal com valor esperado de 419 g e desvio padrão 17 g .
Sabe-se que a densidade do azeite de oliva obtido na temporada 2021 é de 0.918 [g/mL]. Após o envase as garrafas são arranjadas em caixas de papelão, cada caixa contendo 12 garrafas. Após um dia de 18 horas de processo de envase todas as garrafas foram organizadas e encaixotadas nas caixas de papelão.
(obs: densidade é uma relação entre a massa e o volume de um material - densidade [g/mL] = massa [g] / volume [mL])
Qual a probabilidade de uma caixa selecionada aleatoriamente ter massa [g] maior que 15728 g ?

Passo 1

Resumindo o enunciado: cada garrafa cheia tem massa igual à massa da garrafa vazia mais a massa do azeite colocado. A amostra final é uma caixa com 12 garrafas. Queremos
P(massa da caixa > 15728 g)
O que vamos usar:
  • conversão de volume em massa via densidade;
  • soma de variáveis normais independentes é normal;
  • propriedades de média e variância de soma de normais.

Passo 2

Definimos para cada garrafa i:
,Xi = volume de azeite em mL sim N(muX=972,sigmaX^2=17^2),
,Yi = massa da garrafa vazia em g sim N(muY=419,sigmaY^2=17^2),
com Xi e Yi independentes. A densidade do azeite é rho=0,918 g/mL.

Passo 3

A massa de azeite na garrafa i é
Mi = rho,Xi,
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muM = rho,muX = 0,918times972 = 892,296(g),
sigmaM = rho,sigmaX = 0,918times17 = 15,606(g)

Passo 4

A massa total da garrafa i é
Ti = Yi + Mi
Como soma de normais independentes, Tisim N(muT,sigmaT^2) com
muT = muY + muM = 419 + 892,296 = 1311,296(g),
sigmaT^2 = sigmaY^2 + sigmaM^2 = 17^2 + 15,606^2 = 289 + 243,29 = 532,29,
sigmaT = raiz532,29 = 23,070(g)

Passo 5

A caixa tem 12 garrafas, então a massa total
S = sumi=1^12Ti
é normal com
muS = 12,muT = 12times1311,296 = 15735,552(g),
sigmaS^2 = 12,sigmaT^2 = 12times532,29 = 6387,48,
sigmaS = raiz6387,48 = 79,93(g)

Passo 6

Queremos
P(S>15728) = 1 - Phil(15728 - muSsigmaSr) = 1 - Phil(15728 - 15735,55279,93r) = 1 - Phi(-0,0945) = Phi(0,0945)
Pela tabela da normal padrão, Phi(0,0945)approx0,538.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,538.

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