Uma ilha está em um ponto A, a 10 km do ponto B mais próximo sobre uma praia reta. Um armazém está no ponto C, a 20 km de B sobre a praia. Se um homem pode remar à razão de 4 km / h e andar à razão de 5 km / h, onde deveria desembarcar para ir da ilha ao armazém no menor tempo possível?

Passo 1

O enunciado diz que a ilha está no ponto A, a 10 km do ponto B da praia (distância perpendicular), e que o armazém fica no ponto C, a 20 km de B ao longo da praia. Queremos ir de A a C primeiro remando (velocidade 4 km/h) e depois caminhando (velocidade 5 km/h), de modo a minimizar o tempo total. Para resolver, vamos modelar o tempo como função de uma única variável e usar otimização por derivada.

Passo 2

Vamos chamar de x a distância medida ao longo da praia de B até o ponto D onde o homem desembarcará em direção a C. A distância de remo é então a hipotenusa AD, dada por Pitágoras. A distância de caminhada é DC = 20–x. Assim o tempo total T(x) (em horas) é
T(x)=raiz10^2 + x^24 + 20 - x5

Passo 3

Para achar o mínimo de T, calculamos a derivada e igualamos a zero. A derivada de raiz100+x^2/4 em relação a x é
ddxgl(raiz100 + x^24gr)=x4raiz100 + x^2,
e a derivada de (20 - x)/5 é -1/5. Logo
T'(x)=x4raiz100 + x^2 - 15 = 0
Isolando, temos
x4raiz100 + x^2 = 15 Longrightarrow x = 45raiz100 + x^2
Elevando ao quadrado,
x^2 = 1625(100 + x^2) Longrightarrow 25x^2 = 1600 +16x^2 Longrightarrow 9x^2 =1600 Longrightarrow x = 403,(apenas raiz positiva)

Passo 4

É preciso conferir que 0<= x<= 20 e que esse ponto é de mínimo. Como 40/3approx13,33 está dentro do intervalo, e a segunda derivada de T em x é positiva (T é convexa), esse x de fato minimiza o tempo.

Passo 5

Portanto, o desembarque deve ser feito num ponto D situado a x=tfrac403 km de B na direção de C, ou seja, cerca de 13,33 km ao longo da praia a partir de B em direção a C.

Resposta

Desembarcar a tfrac403 km de B em direção a C (aprox. 13,33 km).

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