Uma ilha está em um ponto
, a 10 km do ponto
mais próximo sobre uma praia reta. Um armazém está no ponto
, a 20 km de
sobre a praia. Se um homem pode remar à razão de
e andar à razão de
, onde deveria desembarcar para ir da ilha ao armazém no menor tempo possível?
Passo 1
O enunciado diz que a ilha está no ponto A, a 10 km do ponto B da praia (distância perpendicular), e que o armazém fica no ponto C, a 20 km de B ao longo da praia. Queremos ir de A a C primeiro remando (velocidade 4 km/h) e depois caminhando (velocidade 5 km/h), de modo a minimizar o tempo total. Para resolver, vamos modelar o tempo como função de uma única variável e usar otimização por derivada.
Passo 2
Vamos chamar de x a distância medida ao longo da praia de B até o ponto D onde o homem desembarcará em direção a C. A distância de remo é então a hipotenusa AD, dada por Pitágoras. A distância de caminhada é DC = 20–x. Assim o tempo total T(x) (em horas) é
Passo 3
Para achar o mínimo de T, calculamos a derivada e igualamos a zero. A derivada de
em relação a x é
e a derivada de
é
. Logo
Isolando, temos
Elevando ao quadrado,
Passo 4
É preciso conferir que
e que esse ponto é de mínimo. Como
está dentro do intervalo, e a segunda derivada de T em x é positiva (T é convexa), esse x de fato minimiza o tempo.
Passo 5
Portanto, o desembarque deve ser feito num ponto D situado a
km de B na direção de C, ou seja, cerca de 13,33 km ao longo da praia a partir de B em direção a C.
Resposta
Desembarcar a
km de B em direção a C (aprox. 13,33 km).