Em um dia encoberto, a distribuição direcional da radiação solar que incide na superfície terrestre pode ser aproximada por uma expressão com a forma
, onde
é a intensidade total da radiação normal à superfície e
o ângulo de zênite. Qual é a irradiação solar na superfície terrestre?
Passo 1
O enunciado dá a distribuição direcional da radiância (intensidade por unidade de ângulo sólido) que incide na superfície terrestre na forma
com
. Aqui
é o ângulo de zênite (ângulo entre a direção de chegada da radiação e a normal à superfície). A pergunta é: qual é a irradiação (irradiância) solar que chega à superfície terrestre (isto é, a potência por unidade de área, em
)?
Passo 2
Vamos lembrar o que significa irradiância para radiação que vem do céu em várias direções. A irradiância incidente
sobre uma superfície horizontal é obtida integrando a radiância dirigida
multiplicada pelo fator de projeção
sobre todo o hemisfério celeste:
Explicando cada coisa:
é a irradiância (W/m
);
é a radiância em W/(m
·sr) na direção
;
aparece porque a área efetiva que “coleciona” a radiação é a projeção da área na direção da radiação; e
é o elemento de ângulo sólido. Em coordenadas esféricas o elemento de ângulo sólido é
com
(hemisfério superior) e
.
Passo 3
Substituímos a expressão dada
na integral para
. Como a radiância não depende de
, obtemos
Passo 4
Integramos primeiro em
, que só traz um fator
:
Passo 5
Calculamos a integral em
usando a substituição
. Então
. Quando
temos
e quando
temos
. Assim
Passo 6
Substituindo esse resultado em
obtemos a expressão exata
Agora colocamos
:
Em valor numérico aproximado (usando
):