Em um dia encoberto, a distribuição direcional da radiação solar que incide na superfície terrestre pode ser aproximada por uma expressão com a forma I_{i}=I_{n} \cos (\theta), onde I_{n}=80 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{sr}\right) é a intensidade total da radiação normal à superfície e \theta o ângulo de zênite. Qual é a irradiação solar na superfície terrestre?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição direcional da radiância (intensidade por unidade de ângulo sólido) que incide na superfície terrestre na forma
I_{i}(\theta)=I_{n}\cos(\theta),
com I_{n}=80\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{sr}). Aqui \theta é o ângulo de zênite (ângulo entre a direção de chegada da radiação e a normal à superfície). A pergunta é: qual é a irradiação (irradiância) solar que chega à superfície terrestre (isto é, a potência por unidade de área, em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2)?

Passo 2

Vamos lembrar o que significa irradiância para radiação que vem do céu em várias direções. A irradiância incidente E sobre uma superfície horizontal é obtida integrando a radiância dirigida I_{i}(\theta,\varphi) multiplicada pelo fator de projeção \cos\theta sobre todo o hemisfério celeste:
E=\int_{\Omega_{\text{hemisfério}}} I_{i}(\theta,\varphi)\,\cos\theta\, d\Omega.é
Explicando cada coisa: E é a irradiância (W/m ^2); I_{i}(\theta,\varphi) é a radiância em W/(m ^2·sr) na direção (\theta,\varphi); \cos\theta aparece porque a área efetiva que “coleciona” a radiação é a projeção da área na direção da radiação; e d\Omega é o elemento de ângulo sólido. Em coordenadas esféricas o elemento de ângulo sólido é
d\Omega=\sin\theta\, d\theta\, d\varphi,
com \theta\in[0,\pi/2] (hemisfério superior) e \varphi\in[0,2\pi].

Passo 3

Substituímos a expressão dada I_{i}(\theta)=I_{n}\cos\theta na integral para E. Como a radiância não depende de \varphi, obtemos
E=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} I_{n}\cos\theta\cdot\cos\theta\;\sin\theta\, d\theta\, d\varphi =I_{n}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\,\sin\theta\, d\theta\, d\varphi.

Passo 4

Integramos primeiro em \varphi, que só traz um fator 2\pi:
E=I_{n}\,2\pi\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\,\sin\theta\, d\theta.

Passo 5

Calculamos a integral em \theta usando a substituição u=\cos\theta. Então du=-\sin\theta\, d\theta. Quando \theta=0 temos u=1 e quando \theta=\pi/2 temos u=0. Assim
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\,\sin\theta\, d\theta = \int_{u=1}^{0} u^{2}(-du) = \int_{0}^{1} u^{2}\,du = \left[\dfrac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{3}.

Passo 6

Substituindo esse resultado em E obtemos a expressão exata
E=I_{n}\,2\pi\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2\pi}{3}\,I_{n}.
Agora colocamos I_{n}=80\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{sr}):
E=\dfrac{2\pi}{3}\cdot 80=\dfrac{160\pi}{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Em valor numérico aproximado (usando \pi\approx 3{,}1416):
E\approx 167{,}55\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Resposta

\displaystyle E=\dfrac{160\pi}{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\approx 167{,}55\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}

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