No dia seguinte os três grupos de acadêmicos vieram embora, carregando muitos dados que foram coletados na BEP. Os grupos A e B resolveram voltar pela BR-262 à unidade I do CPAN e o grupo C seguiu de volta ao CPAQ. O grupo A seguiu o trecho de volta à unidade I com velocidade média de 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, o grupo B partiu com velocidade inicial de 70 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e com uma aceleração de 40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}^{2} e o grupo C com velocidade constante de 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} até o local de chegada. Quanto foi o tempo que cada grupo levou para chegar às suas unidades de origem?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o tempo que cada grupo levou para chegar às suas unidades de origem.
  • Informações dadas:
    • Grupo A: percorreu o trecho de volta à unidade I com velocidade média de 100\\ \mathrm{km/h}.
    • Grupo B: partiu com velocidade inicial de 70\\ \mathrm{km/h} e aceleração constante de 40\\ \mathrm{km/h^{2}}, em direção à unidade I (mesma unidade destino que o grupo A).
    • Grupo C: seguiu até o CPAQ com velocidade constante de 90\\ \mathrm{km/h}.
  • O que é pedido:
    • O tempo que cada grupo ( A, B e C) levou para chegar às suas unidades de origem.
  • Observação importante sobre os dados: o enunciado não fornece as distâncias numéricas entre o ponto de partida (BEP) e as unidades de destino. Por isso vou:
    • Denotar por D_{I} a distância do BEP até a unidade I (essa mesma distância vale para os grupos A e B).
    • Denotar por D_{CPAQ} a distância do BEP até o CPAQ (destino do grupo C).
    • Expressar os tempos em função dessas distâncias. Se o valor numérico das distâncias existir em outro lugar (por exemplo, numa figura que não foi enviada), basta substituir D_{I} e D_{CPAQ} pelos valores e calcular.

Passo 2

Conceito e fórmula para movimento com velocidade constante (aplicável ao grupo A e ao grupo C).
  • Se um corpo se desloca com velocidade média constante v e percorre uma distância D em tempo t, vale a relação
v = \frac{D}{t}.
  • Isolando o tempo t:
t = \frac{D}{v}.
Aqui:
  • t tem unidades de horas se D está em \mathrm{km} e v em \mathrm{km/h}.
  • Vou aplicar essa fórmula ao grupo A primeiro.
Aplicando ao grupo A:
  • v_A = 100\\ \mathrm{km/h} e a distância é D_{I}.
t_{A}=\frac{D_{I}}{100}.
Explicação prática: dividir a distância pela velocidade média dá o tempo. Ex.: se D_I=200\\ \mathrm{km}, então t_A=200/100=2\\ \mathrm{h}.

Passo 3

Aplicando a mesma ideia ao grupo C (velocidade constante):
  • v_C = 90\\ \mathrm{km/h} e distância D_{CPAQ}.
t_{C}=\frac{D_{CPAQ}}{90}.
Mesma interpretação: distância dividida pela velocidade constante.

Passo 4

Movimento uniformemente acelerado (aplicável ao grupo B) — apresentação da fórmula básica.
  • Para um movimento com velocidade inicial v_{0}, aceleração constante a e tempo t, a distância percorrida é dada por
D = v_{0}\,t + \frac{1}{2}\,a\,t^{2}.
Explicando cada termo:
  • v_{0}\,t é a contribuição da velocidade inicial (imagine prolongar v_0 constante por t horas).
  • \frac{1}{2}a t^{2} é a contribuição da aceleração (crescimento da velocidade ao longo do tempo).
  • Todas as grandezas devem estar em unidades compatíveis: aqui v_{0} em \mathrm{km/h}, a em \mathrm{km/h^{2}}, t em horas, então D resulta em \mathrm{km}.
No caso do grupo B:
  • v_{0}=70\\ \mathrm{km/h},
  • a=40\\ \mathrm{km/h^{2}},
  • distância até a unidade I é D_{I}.
Substituindo na fórmula:
D_{I}=70\,t_{B}+\tfrac{1}{2}\cdot 40\,t_{B}^{2}.
Simplificando o coeficiente da segunda parcela:
D_{I}=70\,t_{B}+20\,t_{B}^{2}.

Passo 5

Resolver a equação quadrática para t_{B}.
  • Colocar tudo em forma padrão a t_{B}^{2}+b t_{B}+c=0:
20\,t_{B}^{2}+70\,t_{B}-D_{I}=0.
  • Usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para a x^{2}+b x + c = 0,
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=20, b=70, c=-D_{I}. O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = 70^{2}-4\cdot 20\cdot(-D_{I})=4900+80\,D_{I}.
Como o tempo deve ser positivo, escolhemos a raiz com sinal + antes da raiz quadrada (a outra raiz será negativa ou não física para tempo):
t_{B}=\frac{-70+\sqrt{4900+80\,D_{I}}}{2\cdot 20}=\frac{-70+\sqrt{4900+80\,D_{I}}}{40}.
Breve verificação de consistência de unidades: dentro da raiz temos 4900 (que é 70^{2}, sem unidade explícita porque são (\mathrm{km/h})^{2}) somado a 80 D_{I} (onde D_I está em \mathrm{km}, e a combinação dá unidades compatíveis para resultar em (\mathrm{km/h})^{2} sob a raiz), e o denominador 40 tem unidade \mathrm{(km/h^{2})} convertida adequadamente para horas no resultado — portanto a expressão é consistente se D_I estiver em \mathrm{km}.

Passo 6

Resumo final das expressões dos tempos (prático para usar na prova).
  • Grupo A (ida até a unidade I, distância D_{I}):
t_{A}=\frac{D_{I}}{100}\\ \text{(horas)}.
  • Grupo B (mesma distância D_{I}, movimento com v_{0}=70\\ \mathrm{km/h} e a=40\\ \mathrm{km/h^{2}}):
t_{B}=\frac{-70+\sqrt{4900+80\,D_{I}}}{40}\\ \text{(horas)}.
  • Grupo C (distância D_{CPAQ}, velocidade constante 90\\ \mathrm{km/h}):
t_{C}=\frac{D_{CPAQ}}{90}\\ \text{(horas)}.
Dica de prova: se der um valor numérico para D_{I} e/ou D_{CPAQ}, substituir nas fórmulas acima; para t_{B} compute primeiro o discriminante 4900+80D_{I} e então a raiz quadrada, sempre mantendo as unidades em \mathrm{km} e \mathrm{km/h} para obter horas. Força aí — dá pra resolver rápido quando os números aparecem!

Resposta

t_{A}=\dfrac{D_{I}}{100}
t_{B}=\dfrac{-70+\sqrt{4900+80\,D_{I}}}{40}
t_{C}=\dfrac{D_{CPAQ}}{90}

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