9* - Seja um gás diatômico em que algumas moléculas estão dissociadas em seus átomos constituintes (o grau de dissociação varia com a temperatura). Assim, o gás em conjunto consiste de uma mistura de gases monoatômico e diatômico. Considere que ambos se comportem como gás ideal. Mostre que a equação de estado da mistura é dada por
em que
(
é a massa da fração monoatômica; e
, a massa do sistema) e
é o mol do gás diatômico.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação de estado da mistura (gás ideal) formada por frações monoatômicas e diatômicas é
onde estão dadas as quantidades:
-
, , e (pressão, volume, temperatura e constante dos gases); -
é a massa total do sistema; -
é a massa da fração monoatômica; -
é a fração de massa monoatômica; -
é a massa molar do gás diatômico (massa de 1 mol de moléculas diatômicas).
O objetivo é expressarem função de , , , e .
Passo 2
Lembrete básico (fórmula que vamos usar): para um gás ideal a relação é
onde
é o número total de mols do gás. No caso da mistura, o total de mols é a soma dos mols de átomos monoatômicos (
) e dos mols de moléculas diatômicas (
):
A estratégia é escrever
e
em função das massas
e
e das massas molares, somá-los e substituir em
.
Passo 3
Relação entre massa e número de mols: para qualquer espécie com massa molar
e massa
vale
Aplicando isso às duas frações:
onde
é a massa molar das partículas monoatômicas. Como as partículas monoatômicas vêm da dissociação de moléculas diatômicas idênticas, cada molécula diatômica tem duas vezes a massa de um átomo; logo
(ou seja, 1 mol de átomos tem metade da massa de 1 mol de moléculas diatômicas formadas pelos mesmos átomos.)
Passo 4
Expresse
em função de
e
:
Agora calcule
e
usando as expressões acima e substituindo
:
Somando:
Passo 5
Use a definição
para eliminar
. Substituindo
na expressão de
obtemos
Passo 6
Agora volte à lei dos gases ideais
e substitua
:
Reescrevendo de forma igual ao enunciado: