9* - Seja um gás diatômico em que algumas moléculas estão dissociadas em seus átomos constituintes (o grau de dissociação varia com a temperatura). Assim, o gás em conjunto consiste de uma mistura de gases monoatômico e diatômico. Considere que ambos se comportem como gás ideal. Mostre que a equação de estado da mistura é dada por
p V=(\delta+1) \frac{m}{M_{2}} R T
em que \delta=m_{1} / m ( m_{1} é a massa da fração monoatômica; e m, a massa do sistema) e M_{2} é o mol do gás diatômico.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação de estado da mistura (gás ideal) formada por frações monoatômicas e diatômicas é
pV=(\delta+1)\frac{m}{M_{2}}RT,
onde estão dadas as quantidades:
  • p, V, T e R (pressão, volume, temperatura e constante dos gases);
  • m é a massa total do sistema;
  • m_{1} é a massa da fração monoatômica;
  • \delta=\dfrac{m_{1}}{m} é a fração de massa monoatômica;
  • M_{2} é a massa molar do gás diatômico (massa de 1 mol de moléculas diatômicas).
    O objetivo é expressar pV em função de m, \delta, M_{2}, R e T.

Passo 2

Lembrete básico (fórmula que vamos usar): para um gás ideal a relação é
pV=nRT,
onde n é o número total de mols do gás. No caso da mistura, o total de mols é a soma dos mols de átomos monoatômicos ( n_{1}) e dos mols de moléculas diatômicas ( n_{2}):
n=n_{1}+n_{2}.
A estratégia é escrever n_{1} e n_{2} em função das massas m_{1} e m_{2} e das massas molares, somá-los e substituir em pV=nRT.

Passo 3

Relação entre massa e número de mols: para qualquer espécie com massa molar M e massa m vale
n=\frac{m}{M}.
Aplicando isso às duas frações:
n_{2}=\frac{m_{2}}{M_{2}}, \qquad n_{1}=\frac{m_{1}}{M_{1}},
onde M_{1} é a massa molar das partículas monoatômicas. Como as partículas monoatômicas vêm da dissociação de moléculas diatômicas idênticas, cada molécula diatômica tem duas vezes a massa de um átomo; logo
M_{1}=\frac{M_{2}}{2}.
(ou seja, 1 mol de átomos tem metade da massa de 1 mol de moléculas diatômicas formadas pelos mesmos átomos.)

Passo 4

Expresse m_{2} em função de m e m_{1}:
m_{2}=m-m_{1}.
Agora calcule n_{1} e n_{2} usando as expressões acima e substituindo M_{1}=\dfrac{M_{2}}{2}:
n_{1}=\frac{m_{1}}{M_{1}}=\frac{m_{1}}{M_{2}/2}=\frac{2m_{1}}{M_{2}},
n_{2}=\frac{m_{2}}{M_{2}}=\frac{m-m_{1}}{M_{2}}.
Somando:
n=n_{1}+n_{2}=\frac{2m_{1}}{M_{2}}+\frac{m-m_{1}}{M_{2}}=\frac{2m_{1}+m-m_{1}}{M_{2}}=\frac{m+m_{1}}{M_{2}}.

Passo 5

Use a definição \delta=\dfrac{m_{1}}{m} para eliminar m_{1}. Substituindo m_{1}=\delta m na expressão de n obtemos
n=\frac{m+m_{1}}{M_{2}}=\frac{m+\delta m}{M_{2}}=\frac{(1+\delta)m}{M_{2}}.

Passo 6

Agora volte à lei dos gases ideais pV=nRT e substitua n:
pV=\left(\frac{(1+\delta)m}{M_{2}}\right)RT.
Reescrevendo de forma igual ao enunciado:
pV=(\delta+1)\frac{m}{M_{2}}RT.

Resposta

pV=(\delta+1)\frac{m}{M_{2}}RT

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