É dia de show e duas pessoas, que resolveram dormir na porta para serem os primeiros a entrar, formam uma fila na porta do teatro. Denote de
e
as distâncias (em metros) até a entrada do teatro do primeiro e segundo da fila, respectivamente. Suponha que
tem função densidade de probabilidade dada por
onde c
é uma contante de normalização. Suponha também que
Uniforme[0, 10]. Dada as informações acima, faça o que se pede.
Encontre a média e variância de
.
Encontre a média e variância de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma variável contínua
com densidade
e a gente precisa achar a média
e a variância
.
Isso envolve dois tópicos principais de probabilidade:
Isso envolve dois tópicos principais de probabilidade:
- Normalizar a densidade (achar
usando ). - Cálculo de esperança e de variância, que usam integrais do tipo
e .
Vamos montar tudo passo a passo, sem pular nada, de boa?
Passo 2
Primeiro, a densidade tem que “somar” 1 no intervalo
. Ou seja:
Calculando a integral:
Logo
Passo 3
Agora vamos achar a média
:
Calculemos essa integral:
Multiplicando por
:
Passo 4
Pra variância, precisamos de
e usar
.
Primeiro :
Primeiro
Calculando a integral:
Então
Agora a variância:
Resposta
Média
e variância
.