É dia de show e duas pessoas, que resolveram dormir na porta para serem os primeiros a entrar, formam uma fila na porta do teatro. Denote de S1 e S2 as distâncias (em metros) até a entrada do teatro do primeiro e segundo da fila, respectivamente. Suponha que S1 tem função densidade de probabilidade dada por
onde c f(t)= c(10-t) & , se 0 <= t <= 10 0 & , caso contrário é uma contante de normalização. Suponha também que >0 Uniforme[0, 10]. Dada as informações acima, faça o que se pede.
Encontre a média e variância de S2 sim.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável contínua f(t)= c,(10-t),&0<= t<=10, 0,&caso contrário, com densidade
á
e a gente precisa achar a média e a variância .
Isso envolve dois tópicos principais de probabilidade:
  1. Normalizar a densidade (achar usando ).
  2. Cálculo de esperança e de variância, que usam integrais do tipo e .
    Vamos montar tudo passo a passo, sem pular nada, de boa?

Passo 2

Primeiro, a densidade tem que “somar” 1 no intervalo integral0^10 f(t),dt ;=; integral0^10 c,(10-t),dt ;=; 1 . Ou seja:
integral0^10(10-t),dt = l[10t - tfract^22r]0^10 = (100 - 50) - 0 = 50
Calculando a integral:
ccdot 50 = 1 Longrightarrow c = 150
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Passo 3

Agora vamos achar a média E[S1] = integral0^10 t,f(t),dt = integral0^10 t;150(10-t),dt = 150integral0^10 (10t - t^2),dt :
integral0^10(10t - t^2),dt = l[5t^2 - tfract^33r]0^10 = l(5cdot100 - tfrac10003r) = 500 - 10003 = 1500 - 10003 = 5003
Calculemos essa integral:
E[S1] = 150cdot5003 = 500150 = 103
Multiplicando por :

Passo 4

Pra variância, precisamos de E[S1^2] = integral0^10 t^2,f(t),dt = 150integral0^10(10t^2 - t^3),dt e usar
integral0^10(10t^2 - t^3),dt = l[tfrac10t^33 - tfract^44r]0^10 = l(tfrac10cdot10003 - tfrac100004r) = 100003 - 2500 = 10000 - 75003 = 25003 .
Primeiro E[S1^2] = 150cdot 25003 = 2500150 = 503 :
Var(S1) = E[S1^2] - (E[S1])^2 = 503 - l(103r)^2 = 503 - 1009 = 150 - 1009 = 509
Calculando a integral:
Então
Agora a variância:

Resposta

Média e variância .

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