Um posto de atendimento do INSS abre um certo dia já com uma vila enorme de pessoas esperando atendimento. Como os problemas a serem resolvidos podem ser complicados e o número de funcionários é pequeno neste dia, eles conseguem atender uma média de apenas 3 pessoas por hora. Suponha que, para cada
, o total de pessoas atendidas após t horas da abertura é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson. Se T é o tempo de espera da segunda pessoa na fila, encontre a função densidade de probabilidade de
. Em seguida calcule
e
.
Passo 1
Beleza, o problema diz que as chegadas de pessoas formam um processo de Poisson com taxa média de atendimento λ=3 pessoas/hora. A variável aleatória N(t)∼Poisson(3t) conta quantas foram atendidas até t horas. Aí a gente define T como “o tempo até a segunda pessoa ser atendida”. O que vamos usar:
- Em um processo de Poisson, o tempo entre chegadas (interarrival) é Exp(λ).
- A soma de k variáveis Exp(λ) independentes é uma distribuição Erlang (ou Gamma inteira) com parâmetros k e λ. Neste caso k=2.
Passo 2
Como T é o tempo da 2ª chegada, podemos escrever
T = X₁ + X₂,
onde X₁ e X₂ são i.i.d. Exp(λ) com λ=3.
Teoria: a densidade de uma soma de k=2 exponenciais idênticas é
T = X₁ + X₂,
onde X₁ e X₂ são i.i.d. Exp(λ) com λ=3.
Teoria: a densidade de uma soma de k=2 exponenciais idênticas é
Substituindo k=2 e λ=3:
Passo 3
Agora, pelas fórmulas clássicas da Erlang(k,λ):
- Esperança:
- Variância:
Resposta
Densidade:
Esperança:
Variância: