Um posto de atendimento do INSS abre um certo dia já com uma vila enorme de pessoas esperando atendimento. Como os problemas a serem resolvidos podem ser complicados e o número de funcionários é pequeno neste dia, eles conseguem atender uma média de apenas 3 pessoas por hora. Suponha que, para cada t>0, o total de pessoas atendidas após t horas da abertura é uma variável aleatória N(t) com distribuição de Poisson. Se T é o tempo de espera da segunda pessoa na fila, encontre a função densidade de probabilidade de T. Em seguida calcule E[T] e Var[T].

Passo 1

Beleza, o problema diz que as chegadas de pessoas formam um processo de Poisson com taxa média de atendimento λ=3 pessoas/hora. A variável aleatória N(t)∼Poisson(3t) conta quantas foram atendidas até t horas. Aí a gente define T como “o tempo até a segunda pessoa ser atendida”. O que vamos usar:
  • Em um processo de Poisson, o tempo entre chegadas (interarrival) é Exp(λ).
  • A soma de k variáveis Exp(λ) independentes é uma distribu­ição Erlang (ou Gamma inteira) com parâmetros k e λ. Neste caso k=2.

Passo 2

Como T é o tempo da 2ª chegada, podemos escrever
T = X₁ + X₂,
onde X₁ e X₂ são i.i.d. Exp(λ) com λ=3.
Teoria: a densidade de uma soma de k=2 exponenciais idênticas é
fT(t) ;=;lambda^k,t^,k-1(k-1)!,e^-lambda t para t>0
Substituindo k=2 e λ=3:
fT(t) = 3^2,t^2-11!,e^-3t =9,t,e^-3t, t>0

Passo 3

Agora, pelas fórmulas clássicas da Erlang(k,λ):
  • Esperança:
E[T] = klambda = 23 horas
  • Variância:
Var(T) = klambda^2 = 23^2 = 29 horas^2

Resposta

Densidade:
fT(t)=9,t,e^-3t, t>0
Esperança:
E[T]=tfrac23
Variância:
Var(T)=tfrac29

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