É dia de show e duas pessoas, que resolveram dormir na porta para serem os primeiros a entrar, formam uma fila na porta do teatro. Denote de S1 e S2 as distâncias (em metros) até a entrada do teatro do primeiro e segundo da fila, respectivamente. Suponha que S1 tem função densidade de probabilidade dada por
onde c f(t)= c(10-t) & , se 0 <= t <= 10 0 & , caso contrário é uma contante de normalização. Suponha também que >0 Uniforme[0, 10]. Dada as informações acima, faça o que se pede.
Calcule a probabilidade da primeira pessoa da fila estar a menos de 3 metros da entrada.

Passo 1

Beleza, vou resumir o enunciado e o que precisamos. Temos a variável aleatória contínua f(t)= c,(10 - t), & 0 <= t <= 10, 0, & caso contrário que mede a distância até a entrada do teatro, com densidade
á
A matéria envolvida é “variáveis aleatórias contínuas”: a gente precisa normalizar a função densidade (achar a constante ) e depois usar integrais para calcular probabilidades. O que vão ser nossos “ingredientes”:
  1. A condição de normalização .
  2. A fórmula .
    O objetivo final é achar .

Passo 2

Primeiro, normalizar a densidade. A condição é
integral0^10 c,(10 - t),dt = 1
Calculemos essa integral:
integral0^10 (10 - t),dt = l[10t - tfract^22r]0^10 = (100 - 50) - 0 = 50
Logo
c times 50 = 1 Longrightarrow c = 150

Passo 3

Agora usamos a definição de probabilidade contínua:
P(S1 < 3) = integral0^3 f(t),dt = integral0^3 150,(10 - t),dt
Vamos integrar:
integral0^3 (10 - t),dt = l[10t - tfract^22r]0^3 = (30 - 4.5) - 0 = 25.5
Então
P(S1 < 3) = 150 times 25.5 = 25.550 = 0,51

Resposta

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