É dia de show e duas pessoas, que resolveram dormir na porta para serem os primeiros a entrar, formam uma fila na porta do teatro. Denote de
e
as distâncias (em metros) até a entrada do teatro do primeiro e segundo da fila, respectivamente. Suponha que
tem função densidade de probabilidade dada por
onde c
é uma contante de normalização. Suponha também que
Uniforme[0, 10]. Dada as informações acima, faça o que se pede.
Calcule a probabilidade da primeira pessoa da fila estar a menos de 3 metros da entrada.
Calcule a probabilidade da primeira pessoa da fila estar a menos de 3 metros da entrada.
Passo 1
Beleza, vou resumir o enunciado e o que precisamos. Temos a variável aleatória contínua
que mede a distância até a entrada do teatro, com densidade
A matéria envolvida é “variáveis aleatórias contínuas”: a gente precisa normalizar a função densidade (achar a constante
) e depois usar integrais para calcular probabilidades. O que vão ser nossos “ingredientes”:
- A condição de normalização
. - A fórmula
.
O objetivo final é achar.
Passo 2
Primeiro, normalizar a densidade. A condição é
Calculemos essa integral:
Logo
Passo 3
Agora usamos a definição de probabilidade contínua:
Vamos integrar:
Então