É dia de show e duas pessoas, que resolveram dormir na porta para serem os primeiros a entrar, formam uma fila na porta do teatro. Denote de S1 e S2 as distâncias (em metros) até a entrada do teatro do primeiro e segundo da fila, respectivamente. Suponha que S1 tem função densidade de probabilidade dada por
onde c f(t)= c(10-t) & , se 0 <= t <= 10 0 & , caso contrário é uma contante de normalização. Suponha também que >0 Uniforme[0, 10]. Dada as informações acima, faça o que se pede.
Encontre o valor de c.

Passo 1

Beleza, então o que a questão pede é achar a constante de normalização f(t)= c,(10-t), & 0<= t<=10, 0, & caso contrário de uma densidade de probabilidade contínua. A função densidade dada é
á
Estamos na matéria de Variáveis Aleatórias Contínuas e vamos usar a propriedade básica de que toda função densidade precisa “somar” 1 quando integrarmos sobre todo o seu domínio.

Passo 2

Teoria básica: se integral-infty^infty f(t),dt = 1 é pdf, então
integral0^10 c,(10-t),dt = 1
Como fora de , basta integrar de 0 a 10:

Passo 3

Vamos calcular a integral
integral0^10(10-t),dt
Passo a passo:
  1. Ache uma primitiva de integral (10-t),dt = 10t - t^22 . Uma escolha é
l[10t - tfract^22r]0^10 = l(10cdot10 - tfrac10^22r) - l(10cdot0 - tfrac0^22r) = (100 - 50) - 0 = 50
  1. Avalie de 0 a 10:

Passo 4

Voltando à condição de normalização:
integral0^10 c,(10-t),dt = c times 50 = 1
Logo, isolando c = 150 :

Resposta

boxedc = 150

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