É dia de show e duas pessoas, que resolveram dormir na porta para serem os primeiros a entrar, formam uma fila na porta do teatro. Denote de S1 e S2 as distâncias (em metros) até a entrada do teatro do primeiro e segundo da fila, respectivamente. Suponha que S1 tem função densidade de probabilidade dada por
onde c f(t)= c(10-t) & , se 0 <= t <= 10 0 & , caso contrário é uma contante de normalização. Suponha também que >0 Uniforme[0, 10]. Dada as informações acima, faça o que se pede.
Escolhemos ao acaso uma das duas pessoas. Calcule a probabilidade da pessoa escolhida estar a menos de 3 metros da entrada.

Passo 1

Beleza, o que a questão tá dizendo é o seguinte: tem duas pessoas na fila, a gente chama a distância da primeira de e da segunda de .
  • tem densidade de probabilidade para .
  • é Uniforme em .
    A gente vai escolher aleatoriamente uma das duas pessoas (cada uma com probabilidade ) e quer saber a chance de ela estar a menos de 3 metros da entrada.
    Conteúdo: distribuição contínua, normalização de densidade, integração para achar probabilidades e a lei da probabilidade total.

Passo 2

Primeiro precisamos achar o valor de integral-infty^infty f(t),dt ;=;1 para que integral0^10 c,(10-t),dt = 1 seja uma densidade válida. Lembra que densidade válida significa
Como só entre e , fazemos

Passo 3

Vamos resolver essa integral:
integral0^10 (10-t),dt = l[10t - tfract^22r]0^10 = (10cdot10 - tfrac10^22) - 0 = 100 - 50 = 50
Então
c times 50 = 1 Longrightarrow c = 150

Passo 4

Agora calculamos P(S1 <= 3) = integral0^3 f(t),dt = integral0^3 150(10-t),dt = 150l[10t - tfract^22r]0^3 = 150l(30 - tfrac92r) = 150cdot 25.5 = 0.51 .

Passo 5

Para P(S2 <= 3) = integral0^3 110,dt = 310 = 0.3 , a densidade é em . Então

Passo 6

Por fim, como escolhemos cada pessoa com probabilidade P(distância<=3) = tfrac12,P(S1<=3) + tfrac12,P(S2<=3) = tfrac12(0.51) + tfrac12(0.3) = 0.255 + 0.15 = 0.405 , usamos a lei da probabilidade total:
â

Resposta

A probabilidade de a pessoa escolhida estar a menos de 3 metros da entrada é (ou 40,5%).

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