É dia de show e duas pessoas, que resolveram dormir na porta para serem os primeiros a entrar, formam uma fila na porta do teatro. Denote de
e
as distâncias (em metros) até a entrada do teatro do primeiro e segundo da fila, respectivamente. Suponha que
tem função densidade de probabilidade dada por
onde c
é uma contante de normalização. Suponha também que
Uniforme[0, 10]. Dada as informações acima, faça o que se pede.
Escolhemos ao acaso uma das duas pessoas. Calcule a probabilidade da pessoa escolhida estar a menos de 3 metros da entrada.
Escolhemos ao acaso uma das duas pessoas. Calcule a probabilidade da pessoa escolhida estar a menos de 3 metros da entrada.
Passo 1
Beleza, o que a questão tá dizendo é o seguinte: tem duas pessoas na fila, a gente chama a distância da primeira de
e da segunda de
.
-
tem densidade de probabilidade para . -
é Uniforme em .
A gente vai escolher aleatoriamente uma das duas pessoas (cada uma com probabilidade) e quer saber a chance de ela estar a menos de 3 metros da entrada.
Conteúdo: distribuição contínua, normalização de densidade, integração para achar probabilidades e a lei da probabilidade total.
Passo 2
Primeiro precisamos achar o valor de
para que
seja uma densidade válida. Lembra que densidade válida significa
Como
só entre
e
, fazemos
Passo 3
Vamos resolver essa integral:
Então
Passo 4
Agora calculamos
.
Passo 5
Para
, a densidade é
em
. Então
Passo 6
Por fim, como escolhemos cada pessoa com probabilidade
, usamos a lei da probabilidade total:
Resposta
A probabilidade de a pessoa escolhida estar a menos de 3 metros da entrada é
(ou 40,5%).