Uma urna contém apenas bolas pretas e brancas. Para estimar a proporção de bolas pretas na caixa selecionamos uma amostra de bolas e calculamos a proporção de bolas pretas nesta amostra. Denote por o erro cometido nesta estimativa. Ou seja, denota a diferença entre a proporção na amostra e a proporção real de bolas pretas na caixa. Sabemos que neste caso tem distribuição Normal com média e variância . Nestas condições encontre o valor de para que a probabilidade do do erro estar entre e seja de aproximadamente 0,95 .
Passo 1
Beleza, a questão diz que a gente tem uma urna com bolas pretas e brancas e quer estimar a proporção de bolas pretas. A gente pega uma amostra de tamanho e calcula a proporção de pretas nessa amostra. O “erro” é a diferença entre essa proporção amostral e a proporção real na urna. Eles já falaram que esse erro segue uma Normal com média zero e variância .
Conteúdo: distribuição amostral de proporção e Normal padrão.
O que precisamos: encontrar tal que
Passo 2
Vamos traduzir esse pedaço em cálculo com Normal. Como e , a probabilidade vira
Passo 3
Para resolver, padrão: se Pl(|X|<= ar) = Pl(|Z|<= tfracasigmar) , então Pl(|Z|<= z0,975r)=0,95, . Chamando essa Normal padrão,