Uma urna contém apenas bolas pretas e brancas. Para estimar a proporção de bolas pretas na caixa selecionamos uma amostra de n bolas e calculamos a proporção de bolas pretas nesta amostra. Denote por E o erro cometido nesta estimativa. Ou seja, E denota a diferença entre a proporção na amostra e a proporção real de bolas pretas na caixa. Sabemos que neste caso E tem distribuição Normal com média mu=0 e variância sigma^2=14 n. Nestas condições encontre o valor de n para que a probabilidade do do erro estar entre -2 % e 2 % seja de aproximadamente 0,95 .

Passo 1

Beleza, a questão diz que a gente tem uma urna com bolas pretas e brancas e quer estimar a proporção de bolas pretas. A gente pega uma amostra de tamanho Pl(-0,02 <= E <= 0,02r) = 0,95 e calcula a proporção de pretas nessa amostra. O “erro” é a diferença entre essa proporção amostral e a proporção real na urna. Eles já falaram que esse erro segue uma Normal com média zero e variância .
Conteúdo: distribuição amostral de proporção e Normal padrão.
O que precisamos: encontrar tal que

Passo 2

Vamos traduzir esse pedaço em cálculo com Normal. Como Pl(-0,02 <= E <= 0,02r) = Pl(l| E r| <= 0,02r) = 0,95 e , a probabilidade vira

Passo 3

Para resolver, padrão: se Pl(|X|<= ar) = Pl(|Z|<= tfracasigmar) , então Pl(|Z|<= z0,975r)=0,95, . Chamando essa Normal padrão,
Aqui e queremos que isso dê . Sabemos que
e .

Passo 4

Então a conta é
tfrac0,02sigma = 1,96 Longrightarrow 0,02raiz1/(4n) = 1,96
Como 0,02 cdot 2raizn = 1,96 Longrightarrow 0,04,raizn = 1,96 , a equação fica

Passo 5

Agora isola raizn = 1,960,04 = 49 Longrightarrow n = 49^2 = 2401 :

Resposta

.

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