Num dia em que a velocidade do som é 340 \mathrm{~m} / \\mathrm{s}, um amigo seu canta em voz alta, emitindo uma única nota de 400 Hz enquanto corre em sua direção a 25,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Se você corresse no mesmo sentido que seu amigo está correndo, digamos, ambos para a esquerda, e ambos com o mesmo módulo da velocidade, 25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e se só ele emitisse uma única nota de 400 Hz , que frequência você ouviria?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Velocidade do som no ar: \,v=340\\ \mathrm{m/s}.
  • Amigo emite uma nota única de frequência \,f=400\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade do amigo (fonte) em relação ao ar: \,25{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Você começa a correr no mesmo sentido que o amigo (ambos para a esquerda), com o mesmo módulo de velocidade: \,25\\ \mathrm{m/s}.
  • Só o amigo emite a nota; você é o observador.
    Pergunta: que frequência \,f' você ouviria nessa situação?

Passo 2

Ideia física (explicação didática, sem fórmulas ainda):
  • O ouvido percebe uma frequência diferente da emitida se houver movimento relativo entre a fonte de som e o observador: isso é o efeito Doppler.
  • O ponto chave: o que importa para mudar a frequência percebida é se a fonte e o observador estão se aproximando ou se afastando um do outro. Se a distância entre eles permanecer constante (ou seja, não há movimento relativo ao longo da linha entre eles), não há mudança de frequência.

Passo 3

Apresentando a fórmula do efeito Doppler (e explicando as variáveis):
  • A forma prática da fórmula, para ondas sonoras em um meio estacionário, é
f'=\frac{v+v_o}{v-v_s}\;f,
onde:
  • \,f' é a frequência observada,
  • \,f é a frequência emitida pela fonte,
  • \,v é a velocidade da onda no meio (aqui ar),
  • \,v_o é a velocidade do observador em relação ao meio, tomada positiva quando o observador se move em direção à fonte,
  • \,v_s é a velocidade da fonte em relação ao meio, tomada positiva quando a fonte se move em direção ao observador.
  • Observação importante (linguagem simples): \,v_o e \,v_s são os componentes das velocidades na direção “um para o outro”. Se não há aproximação nem afastamento, esses componentes são zero.

Passo 4

Aplicando a física da situação aos sinais das velocidades:
  • Na situação proposta vocês dois correm no mesmo sentido (ambos para a esquerda) com o mesmo módulo de velocidade \,25\\ \mathrm{m/s}.
  • Isso significa que a separação entre vocês não muda — vocês não estão se aproximando nem se afastando um do outro. Portanto, o componente da velocidade do observador em direção à fonte é \,v_o=0 e o componente da velocidade da fonte em direção ao observador é \,v_s=0.
  • Explicando de outra forma: o efeito Doppler depende do movimento relativo ao longo da linha que liga fonte e observador; aqui o movimento relativo é nulo.

Passo 5

Substituindo na fórmula e fazendo as contas passo a passo:
  • Colocando \,v_o=0 e \,v_s=0 na fórmula
f'=\frac{v+v_o}{v-v_s}\;f
temos
f'=\frac{v+0}{v-0}\;f=\frac{v}{v}\;f=1\cdot f=f.
  • Como \,f=400\\ \mathrm{Hz}, concluímos que \,f'=400\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Pequeno comentário didático extra (para fixar a ideia):
  • Se apenas o amigo se movesse em sua direção e você ficasse parado, aí haveria aumento da frequência. Por exemplo, se você estivesse parado ( v_o=0) e a fonte viesse em sua direção com \,v_s=25\\ \mathrm{m/s}, a frequência seria
f'=\frac{v}{v-v_s}f=\frac{340}{340-25}\cdot 400\approx 431{,}7\\ \mathrm{Hz}.
  • Mas no caso pedido, como ambos têm mesma velocidade e sentido, não há mudança.

Resposta

\,400\\ \mathrm{Hz}

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