2^{\underline{\text { a }}} ) Dispõe-se de quatro esferas metálicas iguais e isoladas uma das outras. Três delas (A, B e C) estão neutras e a quarta (D) está eletrizada com a carga Q. Coloca-se D em contato sucessivamente com A, B e C. Qual a carga final de D?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só. Informações relevantes:
  • Há quatro esferas metálicas iguais e isoladas entre si.
  • Três esferas A, B e C estão inicialmente neutras (carga zero).
  • A esfera D está inicialmente eletrizada com carga \,Q.
  • A esfera D é colocada em contato sucessivamente com A, depois com B e por fim com C.
    O que o enunciado pede:
  • Determinar a carga final da esfera D depois desses três contatos sucessivos.

Passo 2

Princípios físicos que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
  • Conservação da carga: quando duas esferas condutoras isoladas entram em contato e depois são separadas, a carga total do par se conserva (não some nem aparece carga do nada).
  • Igualação de potencial: ao colocar dois condutores em contato eles formam um único condutor momentâneo; a diferença de potencial entre eles desaparece, ou seja, as duas partes ficam ao mesmo potencial. Para uma esfera isolada de raio R e carga q, o potencial em sua superfície é
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{R}.
Se as duas esferas tiverem o mesmo raio R, então igualar os potenciais significa igualar as cargas. Portanto, após o contato de duas esferas idênticas com cargas iniciais q_{1} e q_{2}, as cargas finais serão iguais e, pela conservação da carga,
q'_{1}=q'_{2}=\frac{q_{1}+q_{2}}{2}.
Essa fórmula é muito útil: basicamente, duas esferas idênticas compartilham a carga total igualmente.

Passo 3

Aplicando o princípio ao primeiro contato: D (carga inicial \,Q) toca A (carga inicial 0).
  • Carga total do par D+A antes do contato: Q+0=Q.
  • Após o contato, cada uma fica com metade:
q_{D}^{(1)}=q_{A}^{(1)}=\frac{Q+0}{2}=\frac{Q}{2}.
Portanto, depois do primeiro contato, a carga de D é \displaystyle \frac{Q}{2}.

Passo 4

Aplicando ao segundo contato: agora D (carga \displaystyle \frac{Q}{2}) toca B (carga 0).
  • Carga total do par D+B: \displaystyle \frac{Q}{2}+0=\frac{Q}{2}.
  • Após o contato, cada uma fica com metade dessa total:
q_{D}^{(2)}=q_{B}^{(1)}=\frac{\frac{Q}{2}+0}{2}=\frac{Q}{4}.
Assim, depois do segundo contato, a carga de D é \displaystyle \frac{Q}{4}.

Passo 5

Aplicando ao terceiro contato: D (carga \displaystyle \frac{Q}{4}) toca C (carga 0).
  • Carga total do par D+C: \displaystyle \frac{Q}{4}+0=\frac{Q}{4}.
  • Após o contato, cada uma fica com metade:
q_{D}^{(3)}=q_{C}^{(1)}=\frac{\frac{Q}{4}+0}{2}=\frac{Q}{8}.
Portanto, depois do terceiro contato, a carga final de D é \displaystyle \frac{Q}{8}.

Passo 6

Observação e generalização (útil para prova): cada contato de uma esfera carregada com uma esfera idêntica neutra divide a carga da esfera carregada por 2. Fazendo isso n vezes com esferas neutras idênticas, a carga final será \displaystyle Q/2^{n}. No nosso caso n=3, então \displaystyle Q/2^{3}=\displaystyle \frac{Q}{8}. Força e foco — você já pegou o padrão!

Resposta

\displaystyle \frac{Q}{8}

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