S Dois estudantes estão numa varanda a uma altura h acima da rua. Um deles joga uma bola verticalmente para baixo com velocidade z1 : ao mesmo tempo, o outro joga uma bola verticalmente para cima com a mesma velocidade. Responda o seguinte, simbolicamente em termos de vi, g, h e t. (a) Qual é o intervalo de tempo entre quando a primeira e a segunda bola batem no chão? (b) Encontre a velocidade de cada bola no momento em que ela chega ao chão. © Qual a distância entre as bolas no tempo t depois de serem jogadas e antes de baterem no chão?

Passo 1

Beleza, o exercício diz que dois amigos estão numa varanda a uma altura y(t)=y0+v0,t+tfrac12,a,t^2 do chão. Um joga a bola pra baixo com velocidade inicial v(t)=v0+a,t e o outro, ao mesmo tempo, joga pra cima com a mesma . O que a gente precisa achar, tudo em função de , , e :
(a) o intervalo de tempo entre o primeiro e o segundo impacto no chão;
(b) a velocidade de cada bola ao chegar no chão;
© a distância entre as bolas num tempo depois do lançamento (antes de baterem).
Para resolver, vamos usar cinemática do movimento uniformemente acelerado, em que vale:
e também resolver equações quadráticas quando for preciso.

Passo 2

  1. Escolhemos um eixo vertical com sentido para baixo como positivo.
  2. A bola 1 (jogada pra baixo) tem y1(t)=vi,t+tfrac12,g,t^2 e parte de vi,t1+tfrac12,g,t1^2=h ;Longrightarrow; tfrac12,g,t1^2+vi,t1-h=0; o chão fica em t1=-vi+raizvi^2+2ghg.
    Então sua posição é y2(t)=-vi,t+tfrac12,g,t^2Pra achar o tempo de impacto -vi,t2+tfrac12,g,t2^2=h ;Longrightarrow; tfrac12,g,t2^2-vi,t2-h=0 resolvemos t2=,vi+raizvi^2+2gh,gAplicando a fórmula da equação quadrática, pegamos a raiz positiva: De
  3. A bola 2 (jogada pra cima) tem no mesmo eixo. Sua posição é e o impacto em A raiz positiva é
  4. O intervalo entre elas baterem é

Passo 3

A velocidade ao chegar no chão é v1=vi+g,t1 =vi+g!(-vi+raizvi^2+2ghg) =raizvi^2+2gh.
  • Para a bola 1: v2=-vi+g,t2 =-vi+g!(vi+raizvi^2+2ghg) =raizvi^2+2gh
  • Para a bola 2:
Ambas chegam ao chão com a mesma rapidez , sentido pra baixo.

Passo 4

A distância entre as bolas num tempo y1(t)=vi,t+tfrac12,g,t^2, antes de bater é
y2(t)=-vi,t+tfrac12,g,t^2
Então

Resposta

(a)
(b)
©

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