Ondas senoidais de amplitude de
devem ser transmitidas ao longo de uma corda que tenha uma densidade de massa linear igual a
. Se a fonte puder fornecer uma potência máxima de 300 W e a corda estiver sob uma tensão de 120 N , qual é a frequência vibratória mais elevada na qual a fonte pode operar?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem ondas senoidais com uma amplitude de 10,00 cm que vão se propagar por uma corda. A massa por unidade de comprimento da corda é 4,00 × 10⁻² kg/m. A fonte que está gerando essas ondas pode fornecer no máximo 300 W de potência, e a corda está esticada com uma tensão de 120 N. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a frequência vibratória mais alta que a fonte consegue operar nessa situação.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas em cordas e a relação entre potência, massagem linear, tensão, e frequência. Vamos precisar lembrar de algumas fórmulas básicas de física das ondas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a velocidade da onda na corda. A velocidade $ v $ de uma onda numa corda é dada pela fórmula:
Onde:
- $ T $ é a tensão na corda (120 N)
- $ \mu $ é a densidade de massa linear da corda (4,00 × 10⁻² kg/m)
Vamos calcular isso:
Então, a velocidade da onda na corda é aproximadamente 54,77 m/s.
Passo 3
Agora, vamos relacionar a potência $ P $ da onda com a frequência $ f $. A potência transportada por uma onda numa corda é dada por:
Onde:
- $ P $ é a potência (300 W)
- $ \mu $ é a densidade de massa linear (4,00 × 10⁻² kg/m)
- $ \omega $ é a frequência angular, que está relacionada à frequência $ f $ por $ \omega = 2\pi f $
- $ A $ é a amplitude da onda (10,00 cm = 0,10 m)
- $ v $ é a velocidade da onda que calculamos (54,77 m/s)
Queremos encontrar a frequência $ f $, então vamos isolar $ \omega $ na fórmula e depois encontrar $ f $.
Passo 4
Reorganizando a fórmula para resolver para $ \omega $:
Substituindo os valores:
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcula o denominador:
Agora, o numerador:
Então:
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ \omega $:
Passo 5
Agora que temos $ \omega $, podemos encontrar a frequência $ f $ usando a relação:
Isolando $ f $:
Resposta
A frequência vibratória mais elevada na qual a fonte pode operar é aproximadamente 26,34 Hz.