O diagnóstico de certa enfermidade em suínos pode ser obtido por dois métodos. O método A dá resultado positivo para 80 \% dos animais portadores da enfermidade e para 10 \% dos sadios, ao passo que, o método B dá positivo para 70 \% dos portadores e para 5 \% dos sadios. Sabendo ser de 15 \% a taxa dessa enfermidade em suínos, determinar a probabilidade:
a) de um animal fornecer resultado positivo pelos dois métodos;
b) de, entre dois animais doentes, pelo menos um fornecer resultado positivo por algum método.

Passo 1

O enunciado trata de dois métodos diagnósticos, A e B, com as seguintes características:
– Sensibilidade (verdadeiro positivo) em animais doentes:
\;P(A^+\mid D)=0,8, \;P(B^+\mid D)=0,7.
– Taxa de falsos positivos em animais saudáveis:
\;P(A^+\mid D^c)=0,10, \;P(B^+\mid D^c)=0,05.
– Prevalência da doença: \;P(D)=0,15.
Parte (a): calcular P(A^+\cap B^+).
Parte (b): entre dois animais já sabidamente doentes, achar a probabilidade de que pelo menos um deles forneça resultado positivo em algum dos métodos.

Passo 2

Para (a), definimos o evento E = \{A^+\cap B^+\}. Usamos a lei da probabilidade total e assumimos independência condicional de A e B dado o estado de saúde. Assim
P(E) = P(D)\,P(A^+\cap B^+\mid D) +P(D^c)\,P(A^+\cap B^+\mid D^c).
Pelo fato de serem independentes dadas as hipóteses,
P(A^+\cap B^+\mid D) = P(A^+\mid D)\,P(B^+\mid D) =0,8\cdot0,7=0,56,
P(A^+\cap B^+\mid D^c) = P(A^+\mid D^c)\,P(B^+\mid D^c) =0,10\cdot0,05=0,005.

Passo 3

Substituindo na fórmula da lei total:
P(A^+\cap B^+) =0,15\cdot0,56 + 0,85\cdot0,005 =0,084 + 0,00425 =0,08825.

Passo 4

Para (b), cada animal doente tem probabilidade de fornecer pelo menos um positivo em A ou B. Chamemos F esse evento num único animal doente:
P(F\mid D) = P(A^+\cup B^+\mid D) =1 - P(A^-\cap B^-\mid D).
Como P(A^-\mid D)=1-0,8=0,2 e P(B^-\mid D)=1-0,7=0,3 e novamente assumimos independência condicional,
P(A^-\cap B^-\mid D)=0,2\cdot0,3=0,06,
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P(F\mid D)=1-0,06=0,94.

Passo 5

Agora, para dois animais ambos doentes e independentes, queremos
P(\text{pelo menos um }F) =1 - P(\text{nenhum }F) =1 - (1-0,94)^2 =1 - 0,06^2 =1 - 0,0036 =0,9964.

Resposta

a) 0,08825.
b) 0,9964.

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