A diagonal de um cubo de lado l está variando a uma taxa de raiz33 cm / s. Qual a taxa de variação do volume desse cubo quando l=3 cm ?

Passo 1

O enunciado fala de um cubo de lado l(t) cuja diagonal espacial d(t) varia e é dada por
d = raiz3,l
Sabemos que dddt = raiz33,cm/s e queremos encontrar dVdt quando l=3,cm. Vamos usar diferenciação relacionada (related rates).

Passo 2

Primeiro relacionamos a taxa de variação da diagonal com a do lado. Como
d = raiz3,l,
diferenciando em relação a t vem
dddt = raiz3,dldt
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dldt = 1raiz3;dddt = 1raiz3;cdotraiz33 = 13 cm/s

Passo 3

O volume do cubo é V = l^3. Diferenciando:
dVdt = 3,l^2,dldt
Substituindo l=3,cm e dldt=tfrac13,cm/s, obtemos
dVdt = 3cdot 3^2cdot 13 = 9 cm^3/s

Resposta

dVdt = 9 cm^3/s

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