Resolva a inequação:
x(x-1)(x-2) >= 0,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x(x-1)(x-2)>= 0
Isso é um caso típico de análise de sinal de um polinômio fatorado em três fatores lineares.

Passo 2

Identificamos as raízes do polinômio, ou seja, os pontos onde o produto se anula. São dadas pelas soluções de
x=0, x-1=0;Rightarrow;x=1, x-2=0;Rightarrow;x=2

Passo 3

Essas raízes dividem a reta real em quatro intervalos:
(-infty,0), (0,1), (1,2), (2,infty)

Passo 4

Para cada intervalo, escolhemos um valor teste e determinamos o sinal de cada fator:
  • Em (-infty,0): x<0implies x-1<0,;x-2<0. Então x(x-1)(x-2) = (-)times(-)times(-)=(-)
  • Em (0,1): x>0implies x-1<0,;x-2<0. Então (+)times(-)times(-)=(+)
  • Em (1,2): x>0,;x-1>0,;x-2<0. Então (+)times(+)times(-)=(-)
  • Em (2,infty): todos os fatores são positivos, logo (+)times(+)times(+)=(+)

Passo 5

Queremos x(x-1)(x-2)>=0, ou seja, sinais positivos ou zero. Portanto, incluem-se os intervalos onde o produto é positivo e também as raízes (onde vale zero). A solução é
[0,1]cup[2,infty)

Resposta

[0,,1];cup;[2,,infty)

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