Usando a Definição 6.1.3 ou o Teorema 6.1.9, mostre que as funções dadas são soluções LI da edo indicada.
y1(x)=e^x, y2(x)=e^-x, y3(x)=sen x, y4(x)=cos x; y^(4)-y=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de quarta ordem
y^(4) - y = 0
e as quatro funções
y1(x)=e^x, y2(x)=e^-x, y3(x)=sin x, y4(x)=cos x
Queremos provar que estas quatro soluções são linearmente independentes. Pelo Teorema 6.1.9, basta mostrar que o wronskiano
W(x)= y1 & y2 & y3 & y4 y1' & y2' & y3' & y4' y1'' & y2'' & y3'' & y4'' y1''' & y2''' & y3''' & y4'''
é não nulo em algum ponto.

Passo 2

Primeiro listamos as derivadas até a terceira ordem:
y1&=e^x, &y1'&=e^x, &y1''&=e^x, &y1'''&=e^x, y2&=e^-x, &y2'&=-e^-x, &y2''&=e^-x, &y2'''&=-e^-x, y3&=sin x, &y3'&=cos x, &y3''&=-sin x, &y3'''&=-cos x, y4&=cos x, &y4'&=-sin x, &y4''&=-cos x, &y4'''&=sin x
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W(x)= e^x & e^-x & sin x & cos x e^x & -e^-x & cos x & -sin x e^x & e^-x & -sin x & -cos x e^x & -e^-x & -cos x & sin x

Passo 3

Para simplificar a conta, avaliamos em x=0. Em x=0 temos e^0=1, sin0=0, cos0=1, e o wronskiano torna-se
W(0)= 1 & 1 & 0 & 1 1 & -1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & -1 1 & -1 & -1 & 0
Subtraindo a primeira linha das demais, obtemos uma matriz triangular cuja deteminante é
W(0)=8neq 0

Passo 4

Pelo Teorema 6.1.9, como W(0)neq 0, as soluções y1,y2,y3,y4 são linearmente independentes na vizinhança de x=0, e portanto formam um conjunto fundamental de soluções da EDO y^(4)-y=0.

Resposta

As funções y1(x)=e^x, y2(x)=e^-x, y3(x)=sin x e y4(x)=cos x são linearmente independentes porque seu wronskiano vale W(0)=8neq0.

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