Use derivação logarítmica para determinar a derivada de y=e^-2 x cdot(2-x^3)^32raiz1+x^2.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = e^-2x,(2 - x^3)^3/2raiz1 + x^2
usando derivação logarítmica. Vamos aplicar ln aos dois lados, usar as propriedades de log para simplificar e depois diferenciar implicitamente, recorrendo a regra da cadeia.

Passo 2

Tomemos logaritmo natural em ambos os lados e usemos
ln(ab)=ln a+ln b, ln(a^k)=kln a e ln(1/a)=-ln a:
ln y = lnl(e^-2xr) + lnl((2 - x^3)^3/2r) - lnl(raiz1 + x^2r)
Isso dá
ln y = -2x + tfrac32,lnl(2 - x^3r) - tfrac12,lnl(1 + x^2r)

Passo 3

Diferencie ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, ddx[ln y]=y'y. No direito, cada termo se deriva pela regra da cadeia:
y'y = ddx[-2x] + ddxl(tfrac32,ln(2 - x^3)r) - ddxl(tfrac12,ln(1 + x^2)r)
Calcule termo a termo:
ddx[-2x]=-2,
ddx[ln(2 - x^3)]=-3x^22 - x^3,
ddx[ln(1 + x^2)]=2x1 + x^2.

Passo 4

Substituindo esses resultados:
y'y = -2 + tfrac32cdot-3x^22 - x^3 - tfrac12cdot2x1 + x^2 = -2 ;-;9x^22,l(2 - x^3r);-;x1 + x^2

Passo 5

Multiplique ambos os lados por y e substitua a expressão original de y:
y' = y ,l(-2 - 9x^22(2 - x^3) - x1 + x^2r) = e^-2x,(2 - x^3)^3/2raiz1 + x^2 l(-2 - 9x^22,(2 - x^3) - x1 + x^2r)

Resposta

boxed y' = e^-2x,(2 - x^3)^3/2raiz1 + x^2 l(-2 ;-;9x^22,(2 - x^3);-;x1 + x^2r)

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