A diagonal maior de um losango é o dobro da diagonal menor. Sabendo que o perímetro desse losango é 40 \sqrt{ } 5 cm, o valor da diagonal maior é de
(A) 50 cm
(B) 30 cm
(C) 40 cm
(D) 20 cm

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • É um losango (ou seja, os quatro lados têm o mesmo comprimento).
  • A diagonal maior é o dobro da diagonal menor.
  • O perímetro do losango é 40\sqrt{5}\\ \text{cm}.
  • Pergunta: qual é o valor da diagonal maior? (alternativas: (A) 50\\ \text{cm}, (B) 30\\ \text{cm}, (C) 40\\ \text{cm}, (D) 20\\ \text{cm})

Passo 2

Vamos definir notação para organizar:
  • Seja D a diagonal maior.
  • Seja d a diagonal menor.
    A relação do enunciado é
D = 2d.
No losango, as diagonais se cruzam no ponto médio de cada uma e são perpendiculares entre si. Isso significa que, ao traçar as diagonais, elas formam quatro triângulos retângulos congruentes cujos catetos são as metades das diagonais e a hipotenusa é o lado do losango. Se s é o comprimento do lado do losango, por Teorema de Pitágoras vale:
s = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^{2} + \left(\frac{d}{2}\right)^{2}}.
Explicando como cheguei nisso: cada triângulo retângulo tem catetos \frac{D}{2} e \frac{d}{2}; pelo Teorema de Pitágoras a hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos, daí a raiz.

Passo 3

Agora substituo a relação D=2d dentro da fórmula de s. Primeiro calculemos \frac{D}{2} quando D=2d:
\frac{D}{2}=\frac{2d}{2}=d.
Substituindo em s:
s=\sqrt{d^{2} + \left(\frac{d}{2}\right)^{2}}.
Agora calculamos o termo dentro da raiz:
\left(\frac{d}{2}\right)^{2}=\frac{d^{2}}{4},
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s=\sqrt{d^{2}+\frac{d^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{4d^{2}+d^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{5d^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\,d.
Passo a passo: somei d^{2} com d^{2}/4 para obter 5d^{2}/4 e depois tirei a raiz.

Passo 4

O perímetro P do losango é 4 vezes o lado:
P=4s.
Substituindo s=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\,d:
P=4\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}\,d=2\sqrt{5}\,d.
O enunciado nos deu P=40\sqrt{5}. Igualando:
2\sqrt{5}\,d=40\sqrt{5}.
Dividindo ambos os lados por \sqrt{5} (que é diferente de zero) e depois por 2:
d= \frac{40\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}= \frac{40}{2}=20.
Portanto a diagonal menor vale d=20\\ \text{cm}.

Passo 5

Como a diagonal maior satisfaz D=2d, mantendo a expressão simbólica temos
D=2d.
Substituir d=20 na expressão acima dá o valor numérico da diagonal maior (confira na seção de resposta).

Resposta

\text{\text{(C)} }40\\ \text{cm}

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