A diagonal maior de um losango é o dobro da diagonal menor. Sabendo que o perímetro desse losango é
cm, o valor da diagonal maior é de
(A) 50 cm
(B) 30 cm
(C) 40 cm
(D) 20 cm
(A) 50 cm
(B) 30 cm
(C) 40 cm
(D) 20 cm
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- É um losango (ou seja, os quatro lados têm o mesmo comprimento).
- A diagonal maior é o dobro da diagonal menor.
- O perímetro do losango é
. - Pergunta: qual é o valor da diagonal maior? (alternativas: (A)
, (B) , (C) , (D) )
Passo 2
Vamos definir notação para organizar:
- Seja
a diagonal maior. - Seja
a diagonal menor.
A relação do enunciado é
No losango, as diagonais se cruzam no ponto médio de cada uma e são perpendiculares entre si. Isso significa que, ao traçar as diagonais, elas formam quatro triângulos retângulos congruentes cujos catetos são as metades das diagonais e a hipotenusa é o lado do losango. Se
é o comprimento do lado do losango, por Teorema de Pitágoras vale:
Explicando como cheguei nisso: cada triângulo retângulo tem catetos
e
; pelo Teorema de Pitágoras a hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos, daí a raiz.
Passo 3
Agora substituo a relação
dentro da fórmula de
. Primeiro calculemos
quando
:
Substituindo em
:
Agora calculamos o termo dentro da raiz:
logo
Passo a passo: somei
com
para obter
e depois tirei a raiz.
Passo 4
O perímetro
do losango é
vezes o lado:
Substituindo
:
O enunciado nos deu
. Igualando:
Dividindo ambos os lados por
(que é diferente de zero) e depois por
:
Portanto a diagonal menor vale
.
Passo 5
Como a diagonal maior satisfaz
, mantendo a expressão simbólica temos
Substituir
na expressão acima dá o valor numérico da diagonal maior (confira na seção de resposta).