Uma pequena fábrica de doces calcula sua receita com a fórmula R(x)=-x^{2}+15 x e o custo de x doces produzidos é calculado pela fórmula C(x)=x+20. Para que essa fábrica tenha um lucro máximo, a quantidade de doces que ela deve vender é de
(A) 7 .
(B) 12.
(C) 10 .
(D) 9 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A receita quando se vende x doces é R(x)=-x^{2}+15x.
  • O custo quando se produzem x doces é C(x)=x+20.
O que a questão pede:
  • Determinar a quantidade de doces x que maximiza o lucro da fábrica.
  • É uma questão de múltipla escolha com as alternativas: (A) 7. (B) 12. (C) 10. (D) 9.

Passo 2

Definir o lucro L(x) como receita menos custo:
L(x)=R(x)-C(x).
Substituindo as expressões dadas:
L(x)=\left(-x^{2}+15x\right)-\left(x+20\right).
Fazendo as operações termo a termo:
L(x)=-x^{2}+15x - x -20 = -x^{2}+14x-20.

Passo 3

Entender a forma da função lucro:
  • L(x) é um polinômio do segundo grau (uma parábola) da forma geral \,ax^{2}+bx+c.
  • Aqui a=-1, b=14 e c=-20.
  • Quando a<0 a parábola está voltada para baixo (concavidade para baixo), então existe um ponto de máximo (o vértice).
Dois jeitos comuns de achar a abscissa do vértice:
(1) Fórmula do vértice:
x_{\text{v}}=-\frac{b}{2a},
onde a é o coeficiente de x^{2} e b o coeficiente de x. Substituindo a=-1 e b=14:
x_{\text{v}}=-\frac{14}{2\cdot(-1)}=-\frac{14}{-2}=7.
(2) (Opcional, para ver por que funciona) completando o quadrado:
L(x)=-x^{2}+14x-20 = -\bigl(x^{2}-14x+20\bigr).
Escreve x^{2}-14x como (x-7)^{2}-49:
x^{2}-14x+20=(x-7)^{2}-49+20=(x-7)^{2}-29,
portanto
L(x)=-\bigl((x-7)^{2}-29\bigr)= - (x-7)^{2}+29.
Como -(x-7)^{2}\le 0 para todo x, o máximo ocorre quando (x-7)^{2}=0, isto é, em x=7. Nesse ponto o lucro máximo é L(7)=29 (verificação rápida: -49+98-20=29).

Passo 4

Interpretação prática e comentário de prova:
  • x representa número de doces; normalmente x\ge 0. Aqui o valor encontrado x=7 é admissível (positivo e inteiro).
  • Método curto para a prova: formar L(x)=R(x)-C(x) e aplicar a fórmula do vértice x=-\dfrac{b}{2a} quando obter uma parábola com a<0.

Resposta

(A) 7

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