Uma pequena fábrica de doces calcula sua receita com a fórmula
e o custo de
doces produzidos é calculado pela fórmula
. Para que essa fábrica tenha um lucro máximo, a quantidade de doces que ela deve vender é de
(A) 7 .
(B) 12.
(C) 10 .
(D) 9 .
(A) 7 .
(B) 12.
(C) 10 .
(D) 9 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A receita quando se vende
doces é . - O custo quando se produzem
doces é .
O que a questão pede:
- Determinar a quantidade de doces
que maximiza o lucro da fábrica. - É uma questão de múltipla escolha com as alternativas: (A)
. (B) . (C) . (D) .
Passo 2
Definir o lucro
como receita menos custo:
Substituindo as expressões dadas:
Fazendo as operações termo a termo:
Passo 3
Entender a forma da função lucro:
-
é um polinômio do segundo grau (uma parábola) da forma geral . - Aqui
, e . - Quando
a parábola está voltada para baixo (concavidade para baixo), então existe um ponto de máximo (o vértice).
Dois jeitos comuns de achar a abscissa do vértice:
(1) Fórmula do vértice:
onde
é o coeficiente de
e
o coeficiente de
. Substituindo
e
:
(2) (Opcional, para ver por que funciona) completando o quadrado:
Escreve
como
:
portanto
Como
para todo
, o máximo ocorre quando
, isto é, em
. Nesse ponto o lucro máximo é
(verificação rápida:
).
Passo 4
Interpretação prática e comentário de prova:
-
representa número de doces; normalmente . Aqui o valor encontrado é admissível (positivo e inteiro). - Método curto para a prova: formar
e aplicar a fórmula do vértice quando obter uma parábola com .
Resposta
(A)