Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
Se A for diagonalizável e B for semelhante a A, então B também será diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede uma marcação:
  • Dado que A é diagonalizável.
  • Dado que B é semelhante a A (ou seja, B e A estão na mesma classe de similaridade).
    O que se pede: marcar se a afirmação “Se A for diagonalizável e B for semelhante a A, então B também será diagonalizável” é Verdadeira ou Falsa e justificar a resposta.

Passo 2

Definição precisa de diagonalizável (para a prova): dizer que uma matriz quadrada M é diagonalizável significa que existe uma matriz invertível P tal que
P^{-1} M P = D,
onde D é uma matriz diagonal. Aqui P é a matriz cujas colunas são vetores linearmente independentes (normalmente autovetores) e D tem os autovalores de M na diagonal.
Explicação didática: pensar em diagonalizar é escolher uma base formada por autovetores de M. Na base dos autovetores, a ação de M fica muito simples: apenas multiplica cada vetor por seu autovalor, o que corresponde a uma matriz diagonal.

Passo 3

Definição de semelhança de matrizes: dizemos que B é semelhante a A se existe uma matriz invertível S tal que
B = S^{-1} A S.
Comentário: similaridade é a relação que troca a representação da mesma transformação linear em bases diferentes. Similaridade preserva propriedades intrínsecas da transformação, como autovalores e a estrutura de Jordan.

Passo 4

Prova algébrica direta (passo a passo):
  • Como A é diagonalizável, existe uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tal que
P^{-1} A P = D.
  • Como B é semelhante a A, existe invertível S com
B = S^{-1} A S.
  • Substituir a expressão de A em termos de D na expressão de B:
B = S^{-1} A S = S^{-1} (P D P^{-1}) S.
  • Reagrupar os fatores (produto de matrizes é associativo):
B = (S^{-1} P)\, D\, (P^{-1} S).
  • Agora defina a matriz
U \coloneqq P^{-1} S.
Note que U é invertível porque é produto de invertíveis ( P^{-1} e S são invertíveis); o inverso de U é
U^{-1} = S^{-1} P.
  • Com essa definição, a expressão anterior fica
B = U^{-1} D U.
Isto mostra que B é semelhante a uma matriz diagonal D, ou seja, B é diagonalizável (pois existe a conjugação U que leva D em B).
Observação didática: o ponto chave é que ser semelhante a uma matriz diagonal é exatamente ser diagonalizável. E produto de matrizes invertíveis é invertível, então as mudanças de base compostas funcionam.

Passo 5

Intuição alternativa (via autovetores), útil na hora da prova:
  • Se A é diagonalizável, existe uma base formada por autovetores de A. Seja v um autovetor de A associado ao autovalor \lambda, isto é A v = \lambda v.
  • Se B = S^{-1} A S, então calcule B atuando em S^{-1} v:
B (S^{-1} v) = S^{-1} A (S S^{-1} v) = S^{-1} A v = S^{-1} (\lambda v) = \lambda (S^{-1} v).
Ou seja, S^{-1} v é um autovetor de B com o mesmo autovalor \lambda.
  • Como os autovetores de A formam uma base (porque A é diagonalizável), suas imagens pelas transformações S^{-1} formam também uma base (imagem de uma base por uma transformação invertível é outra base) formada por autovetores de B. Logo B tem uma base de autovetores e é diagonalizável.
Essa explicação é prática na prova: você pode mostrar que uma base de autovetores de A vira uma base de autovetores de B sob a mudança de base S^{-1}.

Passo 6

Conclusão e comentário final de ânimo: a afirmação é verdadeira; diagonalizabilidade é uma propriedade preservada por similaridade. Em termos práticos para a prova: se souber que uma matriz é diagonalizável, qualquer matriz semelhante a ela também será — basta compor as mudanças de base.

Resposta

Verdadeira.

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