Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
Se
for diagonalizável e
for semelhante a
, então
também será diagonalizável.
Se
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede uma marcação:
- Dado que
é diagonalizável. - Dado que
é semelhante a (ou seja, e estão na mesma classe de similaridade).
O que se pede: marcar se a afirmação “Sefor diagonalizável e for semelhante a , então também será diagonalizável” é Verdadeira ou Falsa e justificar a resposta.
Passo 2
Definição precisa de diagonalizável (para a prova): dizer que uma matriz quadrada
é diagonalizável significa que existe uma matriz invertível
tal que
onde
é uma matriz diagonal. Aqui
é a matriz cujas colunas são vetores linearmente independentes (normalmente autovetores) e
tem os autovalores de
na diagonal.
Explicação didática: pensar em diagonalizar é escolher uma base formada por autovetores de
. Na base dos autovetores, a ação de
fica muito simples: apenas multiplica cada vetor por seu autovalor, o que corresponde a uma matriz diagonal.
Passo 3
Definição de semelhança de matrizes: dizemos que
é semelhante a
se existe uma matriz invertível
tal que
Comentário: similaridade é a relação que troca a representação da mesma transformação linear em bases diferentes. Similaridade preserva propriedades intrínsecas da transformação, como autovalores e a estrutura de Jordan.
Passo 4
Prova algébrica direta (passo a passo):
- Como
é diagonalizável, existe uma matriz invertível e uma matriz diagonal tal que
- Como
é semelhante a , existe invertível com
- Substituir a expressão de
em termos de na expressão de :
- Reagrupar os fatores (produto de matrizes é associativo):
- Agora defina a matriz
Note que
é invertível porque é produto de invertíveis (
e
são invertíveis); o inverso de
é
- Com essa definição, a expressão anterior fica
Isto mostra que
é semelhante a uma matriz diagonal
, ou seja,
é diagonalizável (pois existe a conjugação
que leva
em
).
Observação didática: o ponto chave é que ser semelhante a uma matriz diagonal é exatamente ser diagonalizável. E produto de matrizes invertíveis é invertível, então as mudanças de base compostas funcionam.
Passo 5
Intuição alternativa (via autovetores), útil na hora da prova:
- Se
é diagonalizável, existe uma base formada por autovetores de . Seja um autovetor de associado ao autovalor , isto é . - Se
, então calcule atuando em :
Ou seja,
é um autovetor de
com o mesmo autovalor
.
- Como os autovetores de
formam uma base (porque é diagonalizável), suas imagens pelas transformações formam também uma base (imagem de uma base por uma transformação invertível é outra base) formada por autovetores de . Logo tem uma base de autovetores e é diagonalizável.
Essa explicação é prática na prova: você pode mostrar que uma base de autovetores de
vira uma base de autovetores de
sob a mudança de base
.
Passo 6
Conclusão e comentário final de ânimo: a afirmação é verdadeira; diagonalizabilidade é uma propriedade preservada por similaridade. Em termos práticos para a prova: se souber que uma matriz é diagonalizável, qualquer matriz semelhante a ela também será — basta compor as mudanças de base.
Resposta
Verdadeira.