Seja T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(x+y, x-z). Mostre que T é linear. (2,0)

Passo 1

O enunciado define a transformação
Tcolon R^3 to R^2
por
T(x,y,z) = (,x+y,;x-z,)
Queremos mostrar que T é linear, isto é, satisfaz as propriedades de aditividade
;T(u+v)=T(u)+T(v); e homogeneidade
;T(c,u)=c,T(u).

Passo 2

Mostrando aditividade. Seja
;u=(x1,y1,z1)inR^3; e
;v=(x2,y2,z2)inR^3.
Então
u+v = (,x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,)
e, aplicando T,
T(u+v) = l((x1+x2)+(y1+y2),;(x1+x2)-(z1+z2)r) = (x1+y1,;x1-z1) + (x2+y2,;x2-z2) = T(u) + T(v)

Passo 3

Mostrando homogeneidade. Seja cinR e u=(x,y,z).
Então
c,u = (,c x,;c y,;c z,)
e
T(c,u) = l(c x + c y,;c x - c zr) = c,(x+y,;x-z) = c,T(u)

Passo 4

Como ilustração, calculamos
T(1,1,1) = (,1+1,;1-1,) = (2,0)

Resposta

T é linear e T(1,1,1) = (2,0).

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