Determine a transformação linear conhecendo as seguintes informações: (3,0)
T: R 2 R 2, T(1,2)=(1,1) e T(0,1)=(1,0)

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
Tcolon R^2 to R^2
sabendo apenas que
T(1,2) = (1,1) e T(0,1) = (1,0)
Para resolver, vamos usar que uma transformação linear fica determinada pelas imagens de uma base de R^2 e que qualquer vetor (x,y) se escreve como combinação linear dos vetores da base canônica.

Passo 2

Note que (0,1) é exatamente o segundo vetor da base canônica, ou seja, e2 = (0,1). Logo,
T( e2) = T(0,1) = (1,0)

Passo 3

Escrevemos (1,2) em termos da base canônica:
(1,2) = 1cdot e1 + 2cdot e2
Pela linearidade de T,
T(1,2) = T( e1) + 2,T( e2)
Mas sabemos que T(1,2)=(1,1) e T( e2)=(1,0). Logo,
T( e1) + 2,(1,0) = (1,1) Longrightarrow T( e1) = (1,1) - (2,0) = (-1,1)

Passo 4

Agora, um vetor genérico (x,y) em R^2 é
(x,y) = x, e1 + y, e2
e pela linearidade
T(x,y) = x,T( e1) + y,T( e2) = x,(-1,1) + y,(1,0)
Fazendo a combinação,
T(x,y) = (-x + y,; x)

Resposta

T(x,y) = (-x + y,; x)

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