Questão 3 [
pontos] Sejam
e
, vetores tais que
é unitário,
e o ângulo entre os vetores
e
é
, assim como o ângulo entre os vetores
e
é igual a
. Use essas informações para responder as seguintes questões.
(a) [1,5 ponto] Encontre os vetores unitários que fazem um ângulo de
com o vetor
.
(b) [1,5 ponto] Calcule
.
(a) [1,5 ponto] Encontre os vetores unitários que fazem um ângulo de
(b) [1,5 ponto] Calcule
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Vetor
. -
é unitário, ou seja . -
. - Ângulo entre
e é . - Ângulo entre
e é .
O enunciado pede duas coisas:
(a) Encontrar todos os vetores unitários que fazem ângulo com
.
(b) Calcular .
(a) Encontrar todos os vetores unitários que fazem ângulo
(b) Calcular
Passo 2
Entendendo a relação entre ângulo e produto escalar (conceito chave).
- Para dois vetores quaisquer
e vale a identidade
onde
é o ângulo entre
e
.
- Se precisarmos de vetores unitários
com ângulo fixo em relação a , isso impõe
pois
.
Aplicando isso ao caso (a):
e
. Logo
Passo 3
Resolver geometricamente (método prático em 2D): qualquer vetor unitário
que faz ângulo
com
pode ser escrito usando a base ortonormal formada pela direção de
e sua perpendicular.
Defina o versor (vetor unitário) na direção de
:
Um vetor unitário perpendicular a
em 2D é, por exemplo,
pois
e
.
Passo 4
Construção dos vetores unitários com ângulo
em relação a
.
Em coordenadas da base
um vetor unitário que faz ângulo
com
é
Isto vem da decomposição unitária: componente na direção de
é
e na perpendicular é
.
Aqui
e
. Portanto
Passo 5
Calcular as componentes explícitas substituindo
e
.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando com os sinais
, obtemos as duas soluções:
e
Podemos factorar
para escrever de forma compacta:
Passo 6
(Rápida checagem de consistência) Cada
tem norma 1 por construção (combinação de base ortonormal com coeficientes
e
). Também satisfazem
, portanto o ângulo com
é
.
Passo 7
Agora a parte (b). Usar linearidade do produto escalar:
Aplicar a fórmula
para cada termo.
Passo 8
Calcular cada produto escalar:
- Para
: , , ângulo . Então
- Para
: , , ângulo . Então
Somando,