Questão 3 [ \mathbf{3 , 0} pontos] Sejam \vec{u}=(3,4), \vec{v} e \vec{w}, vetores tais que \vec{v} é unitário, \|\vec{w}\|=2 e o ângulo entre os vetores \vec{w} e \vec{u} é \frac{\pi}{6}, assim como o ângulo entre os vetores \vec{w} e \vec{v} é igual a \frac{\pi}{3}. Use essas informações para responder as seguintes questões.
(a) [1,5 ponto] Encontre os vetores unitários que fazem um ângulo de \frac{\pi}{6} com o vetor \vec{u}.
(b) [1,5 ponto] Calcule \langle\vec{u}+\vec{v}, \vec{w}\rangle.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Vetor \vec{u}=(3,4).
  • \vec{v} é unitário, ou seja \|\vec{v}\|=1.
  • \|\vec{w}\|=2.
  • Ângulo entre \vec{w} e \vec{u} é \dfrac{\pi}{6}.
  • Ângulo entre \vec{w} e \vec{v} é \dfrac{\pi}{3}.
O enunciado pede duas coisas:
(a) Encontrar todos os vetores unitários que fazem ângulo \dfrac{\pi}{6} com \vec{u}.
(b) Calcular \langle\vec{u}+\vec{v},\vec{w}\rangle.

Passo 2

Entendendo a relação entre ângulo e produto escalar (conceito chave).
  • Para dois vetores quaisquer \vec{a} e \vec{b} vale a identidade
\langle \vec{a},\vec{b}\rangle = \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.
  • Se precisarmos de vetores unitários \vec{x} com ângulo fixo \theta em relação a \vec{u}, isso impõe
\langle \vec{u},\vec{x}\rangle = \|\vec{u}\|\cdot\|\vec{x}\|\cos\theta = \|\vec{u}\|\cos\theta,
pois \|\vec{x}\|=1.
Aplicando isso ao caso (a): \theta=\dfrac{\pi}{6} e \|\vec{u}\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. Logo
\langle\vec{u},\vec{x}\rangle = 5\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=5\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Resolver geometricamente (método prático em 2D): qualquer vetor unitário \vec{x} que faz ângulo \theta com \vec{u} pode ser escrito usando a base ortonormal formada pela direção de \vec{u} e sua perpendicular.
Defina o versor (vetor unitário) na direção de \vec{u}:
\vec{e}_u = \dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} = \dfrac{1}{5}(3,4) = \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right).
Um vetor unitário perpendicular a \vec{e}_u em 2D é, por exemplo,
\vec{e}_\perp = \left(-\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{5}\right),
pois \langle\vec{e}_u,\vec{e}_\perp\rangle = \dfrac{3}{5}\cdot\left(-\dfrac{4}{5}\right)+\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{3}{5}=0 e \|\vec{e}_\perp\|=1.

Passo 4

Construção dos vetores unitários com ângulo \theta=\dfrac{\pi}{6} em relação a \vec{u}.
Em coordenadas da base \{\vec{e}_u,\vec{e}_\perp\} um vetor unitário que faz ângulo \theta com \vec{u} é
\vec{x}=\cos\theta\,\vec{e}_u \pm \sin\theta\,\vec{e}_\perp.
Isto vem da decomposição unitária: componente na direção de \vec{e}_u é \cos\theta e na perpendicular é \pm\sin\theta.
Aqui \cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}. Portanto
\vec{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\vec{e}_u \pm \dfrac{1}{2}\,\vec{e}_\perp.

Passo 5

Calcular as componentes explícitas substituindo \vec{e}_u e \vec{e}_\perp.
Primeiro termo:
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\vec{e}_u = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)=\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{10},\dfrac{4\sqrt{3}}{10}\right).
Segundo termo:
\dfrac{1}{2}\,\vec{e}_\perp = \dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{5}\right)=\left(-\dfrac{4}{10},\dfrac{3}{10}\right).
Somando com os sinais \pm, obtemos as duas soluções:
\vec{x}_1=\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{10}-\dfrac{4}{10},\;\dfrac{4\sqrt{3}}{10}+\dfrac{3}{10}\right)
e
\vec{x}_2=\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{10}+\dfrac{4}{10},\;\dfrac{4\sqrt{3}}{10}-\dfrac{3}{10}\right).
Podemos factorar \tfrac{1}{10} para escrever de forma compacta:
\vec{x}_1=\dfrac{1}{10}\bigl(3\sqrt{3}-4,\;4\sqrt{3}+3\bigr), \qquad \vec{x}_2=\dfrac{1}{10}\bigl(3\sqrt{3}+4,\;4\sqrt{3}-3\bigr).

Passo 6

(Rápida checagem de consistência) Cada \vec{x}_i tem norma 1 por construção (combinação de base ortonormal com coeficientes \cos\theta e \pm\sin\theta). Também satisfazem \langle\vec{u},\vec{x}_i\rangle = 5\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}, portanto o ângulo com \vec{u} é \tfrac{\pi}{6}.

Passo 7

Agora a parte (b). Usar linearidade do produto escalar:
\langle\vec{u}+\vec{v},\vec{w}\rangle=\langle\vec{u},\vec{w}\rangle+\langle\vec{v},\vec{w}\rangle.
Aplicar a fórmula \langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta para cada termo.

Passo 8

Calcular cada produto escalar:
  • Para \langle\vec{u},\vec{w}\rangle: \|\vec{u}\|=5, \|\vec{w}\|=2, ângulo \tfrac{\pi}{6}. Então
\langle\vec{u},\vec{w}\rangle = 5\cdot 2\cdot \cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=10\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}.
  • Para \langle\vec{v},\vec{w}\rangle: \|\vec{v}\|=1, \|\vec{w}\|=2, ângulo \tfrac{\pi}{3}. Então
\langle\vec{v},\vec{w}\rangle = 1\cdot 2\cdot \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=2\cdot\dfrac{1}{2}=1.
Somando,
\langle\vec{u}+\vec{v},\vec{w}\rangle = 5\sqrt{3} + 1.

Resposta

\displaystyle \vec{x}_1=\dfrac{1}{10}\bigl(3\sqrt{3}-4,\;4\sqrt{3}+3\bigr)
\displaystyle \vec{x}_2=\dfrac{1}{10}\bigl(3\sqrt{3}+4,\;4\sqrt{3}-3\bigr)
\displaystyle \langle\vec{u}+\vec{v},\vec{w}\rangle = 5\sqrt{3}+1

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