Verificar se a equação
admite raízes racionais.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
admite raízes racionais.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Coeficiente do termo de maior grau (grau 3):
. - Coeficiente do termo quadrático:
. - Coeficiente do termo linear:
. - Termo constante:
. - Objetivo: dizer se existem raízes racionais e, se existirem, encontrá‑las.
Passo 2
Escolhemos usar o resultado clássico que dá os candidatos a raízes racionais — o chamado Teorema das Raízes Racionais (também chamado de critério de Gauss). Vou explicar o que ele diz e por que funciona, de forma bem direta.
Enunciado do teorema (versão prática):
Se (fração na forma reduzida,
) é uma raiz racional de um polinômio com coeficientes inteiros
Se
então
divide
e
divide
.
Por que isso é verdade (intuição e prova curta):
- Substitua
e multiplique toda a equação por . O resultado é uma relação inteira onde todos os termos são múltiplos de . Assim o termo livre também tem de ser múltiplo de , o que implica que divide . Fazendo um argumento similar (ou trabalhando com a fração reduzida) conclui‑se que divide .
Resultado prático: para nossa equação
, os possíveis numeradores
dividem
e os possíveis denominadores
dividem
.
Passo 3
Listando os candidatos racionais:
- Divisores de
: . - Divisores de
: (tomamos então ). - Candidatos
(em forma reduzida): .
Portanto os possíveis valores racionais a testar são
Passo 4
Avaliar o polinômio nesses candidatos — denotando
.
Para
:
Para
:
Para
:
Calcule passo a passo:
Calcule passo a passo:
Então
Passo 5
Avaliar em
:
Calcule passo a passo:
Calcule passo a passo:
Então
Somando:
Logo
Conclusão:
é raiz racional da equação.
Boa notícia — já encontramos uma raiz racional! Agora, para ter a conclusão completa sobre todas as raízes racionais, fatoramos o polinômio usando essa raiz.
Passo 6
Fatoração pelo fator associado à raiz
.
Observação: se
é raiz, então
é um fator do polinômio com coeficientes inteiros. Vamos dividir
por
.
Divisão polinomial passo a passo:
- Primeiro termo:
. Multiplicando: .
Subtraindo:. Trago os termos restantes: fica . - Próximo termo:
. Multiplicando: .
Subtraindo:. Trago o termo constante: fica . - Último termo:
. Multiplicando: .
Subtraindo obtemos resto.
Portanto a divisão é exata e o quociente é
. Assim temos a fatoração
Passo 7
Analisar as raízes do fator quadrático
.
Calcule o discriminante:
Como
, as raízes do quadrático são complexas não reais:
Portanto o único zero racional do polinômio original é
.
Resposta
Sim. A equação admite a raiz racional
.
As outras duas raízes são .
As outras duas raízes são