Verificar se a equação 2 x^{3}+x^{2}+x-1=0 admite raízes racionais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
2x^{3}+x^{2}+x-1=0
admite raízes racionais.
Informações dadas:
  • Coeficiente do termo de maior grau (grau 3): a_3=2.
  • Coeficiente do termo quadrático: a_2=1.
  • Coeficiente do termo linear: a_1=1.
  • Termo constante: a_0=-1.
  • Objetivo: dizer se existem raízes racionais e, se existirem, encontrá‑las.

Passo 2

Escolhemos usar o resultado clássico que dá os candidatos a raízes racionais — o chamado Teorema das Raízes Racionais (também chamado de critério de Gauss). Vou explicar o que ele diz e por que funciona, de forma bem direta.
Enunciado do teorema (versão prática):
Se \dfrac{p}{q} (fração na forma reduzida, q>0) é uma raiz racional de um polinômio com coeficientes inteiros
a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 = 0,
então p divide a_0 e q divide a_n.
Por que isso é verdade (intuição e prova curta):
  • Substitua x=\dfrac{p}{q} e multiplique toda a equação por q^n. O resultado é uma relação inteira onde todos os termos são múltiplos de p. Assim o termo livre a_0 q^n também tem de ser múltiplo de p, o que implica que p divide a_0. Fazendo um argumento similar (ou trabalhando com a fração reduzida) conclui‑se que q divide a_n.
Resultado prático: para nossa equação 2x^3+x^2+x-1=0, os possíveis numeradores p dividem a_0=-1 e os possíveis denominadores q dividem a_3=2.

Passo 3

Listando os candidatos racionais:
  • Divisores de a_0=-1: p=\pm1.
  • Divisores de a_3=2: q=\pm1,\pm2 (tomamos q>0 então q=1,2).
  • Candidatos \dfrac{p}{q} (em forma reduzida): \pm1,\\ \pm\dfrac{1}{2}.
Portanto os possíveis valores racionais a testar são
1,\\\ -1,\\ \tfrac{1}{2},\\\ -\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Avaliar o polinômio nesses candidatos — denotando P(x)=2x^{3}+x^{2}+x-1.
Para x=1:
P(1)=2\cdot1^{3}+1^{2}+1-1=2+1+1-1=3\neq0.
Para x=-1:
P(-1)=2(-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)-1=2(-1)+1-1-1=-2+1-1-1=-3\neq0.
Para x=-\tfrac{1}{2}:
Calcule passo a passo:
(-\tfrac{1}{2})^{3}=-\tfrac{1}{8},\qquad (-\tfrac{1}{2})^{2}=\tfrac{1}{4}.
Então
P\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=2\left(-\tfrac{1}{8}\right)+\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{3}{2}\neq0.

Passo 5

Avaliar em x=\tfrac{1}{2}:
Calcule passo a passo:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=\tfrac{1}{8},\qquad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Então
P\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=2\cdot\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}-1=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}-1.
Somando:
\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2},\qquad \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1,\qquad 1-1=0.
Logo
P\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=0.
Conclusão: x=\tfrac{1}{2} é raiz racional da equação.
Boa notícia — já encontramos uma raiz racional! Agora, para ter a conclusão completa sobre todas as raízes racionais, fatoramos o polinômio usando essa raiz.

Passo 6

Fatoração pelo fator associado à raiz \tfrac{1}{2}.
Observação: se x=\tfrac{1}{2} é raiz, então 2x-1 é um fator do polinômio com coeficientes inteiros. Vamos dividir 2x^{3}+x^{2}+x-1 por 2x-1.
Divisão polinomial passo a passo:
  • Primeiro termo: 2x^{3}\div 2x=x^{2}. Multiplicando: x^{2}(2x-1)=2x^{3}-x^{2}.
    Subtraindo: (2x^{3}+x^{2})-(2x^{3}-x^{2})=2x^{2}. Trago os termos restantes: fica 2x^{2}+x.
  • Próximo termo: 2x^{2}\div 2x=x. Multiplicando: x(2x-1)=2x^{2}-x.
    Subtraindo: (2x^{2}+x)-(2x^{2}-x)=2x. Trago o termo constante: fica 2x-1.
  • Último termo: 2x\div 2x=1. Multiplicando: 1\cdot(2x-1)=2x-1.
    Subtraindo obtemos resto 0.
Portanto a divisão é exata e o quociente é x^{2}+x+1. Assim temos a fatoração
2x^{3}+x^{2}+x-1=(2x-1)(x^{2}+x+1).

Passo 7

Analisar as raízes do fator quadrático x^{2}+x+1.
Calcule o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4\cdot1\cdot1=1-4=-3.
Como \Delta<0, as raízes do quadrático são complexas não reais:
x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.
Portanto o único zero racional do polinômio original é x=\dfrac{1}{2}.

Resposta

Sim. A equação admite a raiz racional \dfrac{1}{2}.
As outras duas raízes são \dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.

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