Seja M=\left(\begin{array}{llll}3 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right).
(a) Calcule os autovalores e autovetores de M;
(b) M é diagonalizável? Justifique

Passo 1

O enunciado dá a matriz triangular superior
M=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede (a) os autovalores e autovetores, e (b) verificar se M é diagonalizável.
Para isso usamos que, em matrizes triangulares, os autovalores são as entradas da diagonal e que os autovetores se obtêm resolvendo (M-\lambda I)v=0.

Passo 2

Os autovalores de M são as entradas da diagonal:
\lambda_1=3,\quad \lambda_2=2,\quad \lambda_3=1,\quad \lambda_4=1.
Note que \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Para \lambda=3 resolvemos
(M-3I)v=0
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & -2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix}=0.
As equações implicam x_4=0, x_3=0, x_2=0 e x_1 livre.
Um autovetor associado é
v_1=(1,0,0,0)^{T}.

Passo 4

Para \lambda=2 resolvemos
(M-2I)v=0
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix}=0.
Dessas equações vem x_4=0, x_3=0 e x_1=-x_2.
Um autovetor correspondente é
v_2=(1,-1,0,0)^{T}.

Passo 5

Para \lambda=1 resolvemos
(M-I)v=0
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix}=0.
As equações dão x_4=0, x_3=-2x_1, x_2=0.
Um autovetor é
v_3=(1,0,-2,0)^{T}.
Como a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 1 (<2), há apenas um autovetor independente para \lambda=1.

Passo 6

Para ser diagonalizável precisamos de 4 autovetores linearmente independentes. Aqui obtivemos apenas 3 vetores independentes v_1,v_2,v_3. Como a soma das dimensões dos espaços próprios é menor que 4, M não é diagonalizável.

Resposta

(a) Autovalores: \;3,\,2,\,1 (com 1 de multiplicidade algébrica 2).
Autovetores: \;v_1=(1,0,0,0)^T para \lambda=3, \;v_2=(1,-1,0,0)^T para \lambda=2, \;v_3=(1,0,-2,0)^T para \lambda=1.
(b) M não é diagonalizável, pois falta um autovetor para \lambda=1.

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