e pede (a) os autovalores e autovetores, e (b) verificar se M é diagonalizável.
Para isso usamos que, em matrizes triangulares, os autovalores são as entradas da diagonal e que os autovetores se obtêm resolvendo (M-\lambda I)v=0.
As equações dão x_4=0, x_3=-2x_1, x_2=0.
Um autovetor é
v_3=(1,0,-2,0)^{T}.
Como a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 1 (<2), há apenas um autovetor independente para \lambda=1.
Passo 6
Para ser diagonalizável precisamos de 4 autovetores linearmente independentes. Aqui obtivemos apenas 3 vetores independentes v_1,v_2,v_3. Como a soma das dimensões dos espaços próprios é menor que 4, M não é diagonalizável.
Resposta
(a) Autovalores: \;3,\,2,\,1 (com 1 de multiplicidade algébrica 2).
Autovetores: \;v_1=(1,0,0,0)^T para \lambda=3, \;v_2=(1,-1,0,0)^T para \lambda=2, \;v_3=(1,0,-2,0)^T para \lambda=1.
(b) M não é diagonalizável, pois falta um autovetor para \lambda=1.