An 8 -mm-diameter plastic sphere whose density is 1150 kg / m^3 is dropped into water at 20^circ C. Determine the terminal velocity of the sphere in water.

Passo 1

O exercício diz que temos uma esfera plástica de diâmetro 8 mm (ou seja, raio 4 mm) com densidade ρₛ = 1150 kg/m³, solta em água a 20 °C. A ideia é achar a velocidade terminal dela, ou seja, aquela velocidade constante em que a força de arrasto + empuxo equilibram exatamente o peso.
Conteúdo: dinâmica de fluidos (forças – peso, empuxo, arrasto), número de Reynolds, coeficiente de arrasto para esfera.
O que precisamos:
• Dados da água (ρ_f, μ) a 20 °C
• Equilíbrio de forças: peso – empuxo = arrasto
• Expressão do arrasto via coeficiente C_D(Re) – vamos usar a correlação de Schiller–Naumann

Passo 2

Calculando dados geométricos e propriedades do fluido:
  • raio da esfera: V = tfrac43,pi a^3 = tfrac43,pi (0,004)^3 approx 2,68times10^-7;m^3
  • volume da esfera: A = pi a^2 = pi,(0,004)^2 approx 5,03times10^-5;m^2
  • área de seção frontal:
  • densidade da água a 20 °C:
  • viscosidade dinâmica da água:
  • aceleração da gravidade:

Passo 3

Escrevendo o equilíbrio de forças na queda com velocidade constante (rhos - rhof),V,g ;=; FD :
peso – empuxo = arrasto
FD = tfrac12,rhof,CD,A,vt^2
e o arrasto genérico é
(rhos - rhof),V,g = tfrac12,rhof,CD,A,vt^2 Longrightarrow vt = raiz2,(rhos-rhof),V,grhof,A,CD
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Passo 4

Mas atenção: Re = rhof,vt,Dmu depende do número de Reynolds
CD = 24Rel(1 + 0,15,Re^0,687r), válida até Re 10^5
Para esferas, uma correlação muito usada (Schiller–Naumann) é
áé
Como depende de (via Re) e depende de , a gente faz um chute inicial e itera até convergir.

Passo 5

Iteração (resumida):
  1. Chute inicial: suponha (valor típico em Re alto).
  2. Calcule pela fórmula direta, ache Re, atualize via Schiller–Naumann.
  3. Repita até parar de mudar significativamente.
Cálculo detalhado resumido:
  • Primeiro chute: .
  • Repetindo, chegamos a e , com .
  • Mais uma rodada não muda mais do que 0,002 m/s.

Resposta

A velocidade terminal da esfera plástica na água a 20 °C é, aproximadamente,
vt approx 0,21;m/s

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