An 8 -mm-diameter plastic sphere whose density is
is dropped into water at
. Determine the terminal velocity of the sphere in water.
Passo 1
O exercício diz que temos uma esfera plástica de diâmetro 8 mm (ou seja, raio 4 mm) com densidade ρₛ = 1150 kg/m³, solta em água a 20 °C. A ideia é achar a velocidade terminal dela, ou seja, aquela velocidade constante em que a força de arrasto + empuxo equilibram exatamente o peso.
Conteúdo: dinâmica de fluidos (forças – peso, empuxo, arrasto), número de Reynolds, coeficiente de arrasto para esfera.
O que precisamos:
• Dados da água (ρ_f, μ) a 20 °C
• Equilíbrio de forças: peso – empuxo = arrasto
• Expressão do arrasto via coeficiente C_D(Re) – vamos usar a correlação de Schiller–Naumann
Conteúdo: dinâmica de fluidos (forças – peso, empuxo, arrasto), número de Reynolds, coeficiente de arrasto para esfera.
O que precisamos:
• Dados da água (ρ_f, μ) a 20 °C
• Equilíbrio de forças: peso – empuxo = arrasto
• Expressão do arrasto via coeficiente C_D(Re) – vamos usar a correlação de Schiller–Naumann
Passo 2
Calculando dados geométricos e propriedades do fluido:
- raio da esfera:
- volume da esfera:
- área de seção frontal:
- densidade da água a 20 °C:
- viscosidade dinâmica da água:
- aceleração da gravidade:
Passo 3
Escrevendo o equilíbrio de forças na queda com velocidade constante
:
peso – empuxo = arrasto
peso – empuxo = arrasto
e o arrasto genérico é
Logo
Passo 4
Mas atenção:
depende do número de Reynolds
Para esferas, uma correlação muito usada (Schiller–Naumann) é
Como
depende de
(via Re) e
depende de
, a gente faz um chute inicial e itera até convergir.
Passo 5
Iteração (resumida):
- Chute inicial: suponha
(valor típico em Re alto). - Calcule
pela fórmula direta, ache Re, atualize via Schiller–Naumann. - Repita até
parar de mudar significativamente.
Cálculo detalhado resumido:
- Primeiro chute:
→ → . - Repetindo, chegamos a
e , com . - Mais uma rodada não muda mais do que 0,002 m/s.
Resposta
A velocidade terminal da esfera plástica na água a 20 °C é, aproximadamente,