O diâmetro de bastões de aço, fabricados em duas máquinas extrusoras diferentes, está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanho
são selecionadas e as médias e as variâncias das amostras são
e
, respectivamente. Suponha
e que os dados sejam retirados de uma população normal. Construa um intervalo de confiança de
para a diferença no diâmetro médio dos bastões. Interprete esse intervalo.
Passo 1
Beleza, olha só o que o enunciado pede: a gente tem duas máquinas que fabricam bastões de aço e coletou duas amostras independentes.
- Tamanho das amostras:
e - Médias amostrais:
e - Variâncias amostrais:
e
Pressupomos populações normais e variâncias verdadeiras diferentes ().
O que queremos: intervalo de confiança de 95 % para a diferença de médias.
Conteúdo envolvido: Estatística Inferencial – intervalo de confiança para diferença de médias com variâncias desiguais (método de Welch).
Passo 2
A fórmula básica que a gente vai usar é o intervalo de confiança de Welch:
Onde:
-
é a diferença das médias amostrais. -
é o valor crítico da t de Student para nível (idade de liberdade ). - A raiz dentro do somatório é o erro padrão da diferença de médias quando variâncias são desiguais.
-
é calculado pela aproximação de Welch (a seguir).
Passo 3
Vamos achar o erro padrão
:
Calculemos cada fração:
Somando e tirando raiz:
Passo 4
Agora, o grau de liberdade aproximado
pela fórmula de Welch:
Substituindo:
Ou seja,
.
Passo 5
Com
e
, o valor crítico da t é
Passo 6
A diferença das médias é
Margem de erro
.
Assim, o intervalo de confiança fica
Assim, o intervalo de confiança fica
Passo 7
Interpretação: “Estamos 95 % confiantes de que a verdadeira diferença de diâmetros médios (
) está entre
e
. Como zero está dentro desse intervalo, não temos evidência de diferença significativa entre as máquinas.”
Resposta
Intervalo de confiança de 95 % para
:
.