O diâmetro de bastões de aço, fabricados em duas máquinas extrusoras diferentes, está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanho n1=15 e n2=17 são selecionadas e as médias e as variâncias das amostras são barx1=8,73, s1^2=0,35, barx2=8,68 e s2^2=0,40, respectivamente. Suponha sigma1^2 neq sigma2^2 e que os dados sejam retirados de uma população normal. Construa um intervalo de confiança de 95 % para a diferença no diâmetro médio dos bastões. Interprete esse intervalo.

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado pede: a gente tem duas máquinas que fabricam bastões de aço e coletou duas amostras independentes.
  • Tamanho das amostras: e
  • Médias amostrais: e
  • Variâncias amostrais: e
    Pressupomos populações normais e variâncias verdadeiras diferentes ( ).
    O que queremos: intervalo de confiança de 95 % para a diferença de médias .
    Conteúdo envolvido: Estatística Inferencial – intervalo de confiança para diferença de médias com variâncias desiguais (método de Welch).

Passo 2

A fórmula básica que a gente vai usar é o intervalo de confiança de Welch:
(bar x1 - bar x2) ;pm; talpha/2,nu,raizs1^2n1 ;+;s2^2n2
Onde:
  • é a diferença das médias amostrais.
  • é o valor crítico da t de Student para nível (idade de liberdade ).
  • A raiz dentro do somatório é o erro padrão da diferença de médias quando variâncias são desiguais.
  • é calculado pela aproximação de Welch (a seguir).

Passo 3

Vamos achar o erro padrão SE = raizs1^2n1 + s2^2n2 = raiz0,3515 + 0,4017 :
0,3515 approx 0,02333, 0,4017 approx 0,02353
Calculemos cada fração:
0,02333 + 0,02353 = 0,04686, SE = raiz0,04686approx 0,2165
Somando e tirando raiz:

Passo 4

Agora, o grau de liberdade aproximado nu ;=;l(tfracs1^2n1 + tfracs2^2n2r)^2 (s1^2/n1)^2n1-1 + (s2^2/n2)^2n2-1 pela fórmula de Welch:
nu approx (0,02333 + 0,02353)^2 0,02333^214 + 0,02353^216 approx 0,04686^2tfrac0,00054414 + tfrac0,00055416 approx 0,0021960,0000735 approx 29,9
Substituindo:
Ou seja, .

Passo 5

Com t0,975,,30approx 2,042 e , o valor crítico da t é

Passo 6

A diferença das médias é
bar x1 - bar x2 = 8,73 - 8,68 = 0,05
Margem de erro 0,05 ;pm; 0,44 Longrightarrow [-0,39,;0,49] .
Assim, o intervalo de confiança fica

Passo 7

Interpretação: “Estamos 95 % confiantes de que a verdadeira diferença de diâmetros médios ( ) está entre e . Como zero está dentro desse intervalo, não temos evidência de diferença significativa entre as máquinas.”

Resposta

Intervalo de confiança de 95 % para : .

Exercícios relacionados