Duas tipos diferentes de máquinas de injeção-moldagem são usadas para formar peças de plásticos. Uma peça é considerada defeituosa se ela tiver excesso de encolhimento ou se for descolorida. Duas amostras aleatórias, cada uma de tamanho 300, são selecionadas e 15 peças defeituosas são encontradas na amostra da máquina 1, enquanto 8 peças defeituosas são encontradas na amostra da máquina 2 . Use um intervalo de confiança com 95 % e conclua se ambas as máquinas produzem ou não a mesma fração de peças defeituosas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre comparar duas máquinas que produzem peças plásticas e ver se elas têm a mesma taxa de defeitos. Cada máquina teve uma amostra de tamanho . Na máquina 1 apareceram peças defeituosas e na máquina 2 foram . O conteúdo aqui é Intervalo de Confiança para a diferença entre duas proporções, usando a aproximação normal. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Calcular as proporções amostrais e .
  2. Calcular o erro-padrão da diferença.
  3. Pegar o valor crítico para 95%.
  4. Montar o intervalo e concluir.

Passo 2

Primeiro, as proporções amostrais:
hat p1 = x1n1 = 15300 = 0,05, hat p2 = x2n2 = 8300 = 0,0267
Explicando: é só a fração de defeituosos na amostra da máquina .

Passo 3

Agora precisamos do erro-padrão da diferença SE = raizhat p1,(1 - hat p1)n1 ;+; hat p2,(1 - hat p2)n2 . A fórmula é
SE = raiz0,05 times 0,95300 + 0,0267 times 0,9733300
Substituindo:
SE = raiz0,0001583 + 0,0000865 approx raiz0,0002448 approx 0,01565
Vamos calcular cada pedacinho:
  • , dividindo por 300 dá .
  • , dividindo por 300 dá .
    Somando e tirando raiz:

Passo 4

Para 95% de confiança, o valor crítico ME = z times SE = 1,96 times 0,01565 approx 0,0307 (da distribuição normal) é . Logo a margem de erro é

Passo 5

O intervalo de confiança para a diferença (hat p1 - hat p2) pm ME = (0,05 - 0,0267) pm 0,0307 = 0,0233 pm 0,0307 fica:
[
(\hat p_1 - \hat p_2) \pm ME

(0{,}05 - 0{,}0267) \pm 0{,}0307

0{,}0233 \pm 0{,}0307.
]
Isso dá como limites:
0,0233 - 0,0307 = -0,0074, 0,0233 + 0,0307 = 0,0540

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para é aproximadamente . Como esse intervalo contém zero, concluímos que não há evidência de diferença na fração de peças defeituosas entre as duas máquinas.

Exercícios relacionados