Duas tipos diferentes de máquinas de injeção-moldagem são usadas para formar peças de plásticos. Uma peça é considerada defeituosa se ela tiver excesso de encolhimento ou se for descolorida. Duas amostras aleatórias, cada uma de tamanho 300, são selecionadas e 15 peças defeituosas são encontradas na amostra da máquina 1, enquanto 8 peças defeituosas são encontradas na amostra da máquina 2 . Use um intervalo de confiança com
e conclua se ambas as máquinas produzem ou não a mesma fração de peças defeituosas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é sobre comparar duas máquinas que produzem peças plásticas e ver se elas têm a mesma taxa de defeitos. Cada máquina teve uma amostra de tamanho
. Na máquina 1 apareceram
peças defeituosas e na máquina 2 foram
. O conteúdo aqui é Intervalo de Confiança para a diferença entre duas proporções, usando a aproximação normal. Para resolver, a gente vai precisar:
- Calcular as proporções amostrais
e . - Calcular o erro-padrão da diferença.
- Pegar o valor crítico
para 95%. - Montar o intervalo e concluir.
Passo 2
Primeiro, as proporções amostrais:
Explicando:
é só a fração de defeituosos na amostra da máquina
.
Passo 3
Agora precisamos do erro-padrão da diferença
. A fórmula é
Substituindo:
Vamos calcular cada pedacinho:
-
, dividindo por 300 dá . -
, dividindo por 300 dá .
Somando e tirando raiz:
Passo 4
Para 95% de confiança, o valor crítico
(da distribuição normal) é
. Logo a margem de erro é
Passo 5
O intervalo de confiança para a diferença
fica:
[
(\hat p_1 - \hat p_2) \pm ME
(0{,}05 - 0{,}0267) \pm 0{,}0307
0{,}0233 \pm 0{,}0307.
]
]
Isso dá como limites:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para
é aproximadamente
. Como esse intervalo contém zero, concluímos que não há evidência de diferença na fração de peças defeituosas entre as duas máquinas.